O tensor de tensões de Maxwell (nomeado em homenagem a James Clerk Maxwell) é um tensor simétrico de segunda ordem em três dimensões usado no eletromagnetismo clássico para representar a interação entre forças eletromagnéticas e o momento mecânico. Em situações simples, como uma carga pontual movendo-se livremente em um campo magnético homogêneo, é fácil calcular as forças sobre a carga a partir da força de Lorentz. Quando a situação se torna mais complexa, este procedimento ordinário pode tornar-se impraticavelmente difícil, com equações que ocupam múltiplas linhas. Por isso, é conveniente reunir muitos desses termos no tensor de tensões de Maxwell e usar a aritmética tensorial para encontrar a solução do problema em questão.
Na formulação relativística do eletromagnetismo, as nove componentes do tensor de tensões de Maxwell aparecem, com sinal invertido, como componentes do tensor de energia-momento eletromagnético, que é a componente eletromagnética do tensor de energia-momento total. Este último descreve a densidade e o fluxo de energia e momento no espaço-tempo.
Dedução
Como demonstrado abaixo, a força eletromagnética é escrita em termos de e . Usando cálculo vetorial e as equações de Maxwell, busca-se a simetria nos termos que contêm e , e a introdução do tensor de tensões de Maxwell simplifica o resultado.
A dedução segue Griffiths e se aplica ao caso do vácuo.
+ Equações de Maxwell em unidades do SI no vácuo (para referência) Nome Forma diferencial Lei de Gauss (no vácuo) Lei de Gauss para o magnetismo Equação de Maxwell–Faraday(Lei da indução de Faraday) Lei de Ampère (no vácuo)(com a correção de Maxwell)
Equação Na física, o tensor de tensões de Maxwell é o tensor de tensões de Cauchy de um campo eletromagnético. Conforme deduzido acima, ele é dado por: , onde é a constante elétrica, a constante magnética, o campo elétrico, o campo magnético, e é o delta de Kronecker. No sistema Gaussiano, ele é dado por: , onde é o campo magnetizante.
Uma forma alternativa de expressar este tensor é:
onde é o produto diádico, e o último tensor é a díade unitária:
O elemento do tensor de tensões de Maxwell possui unidades de momento por unidade de área por unidade de tempo e fornece o fluxo de momento paralelo ao -ésimo eixo que atravessa uma superfície normal ao -ésimo eixo (na direção negativa) por unidade de tempo.
Essas unidades também podem ser vistas como unidades de força por unidade de área (pressão negativa), e o elemento do tensor também pode ser interpretado como a força paralela ao -ésimo eixo sofrida por uma superfície normal ao -ésimo eixo por unidade de área. De fato, os elementos da diagonal fornecem a tração (puxo) atuando em um elemento de área diferencial normal ao eixo correspondente. Diferente das forças devidas à pressão de um gás ideal, um elemento de área no campo eletromagnético também sente uma força em uma direção que não é normal ao elemento. Este cisalhamento é dado pelos elementos fora da diagonal do tensor de tensões.
Na magnetostática Se o campo for apenas magnético (o que ocorre amplamente em motores, por exemplo), alguns dos termos desaparecem e a equação em unidades do SI torna-se:
Na eletrostática
Na eletrostática, os efeitos do magnetismo não estão presentes. Neste caso, o campo magnético desaparece, ou seja, , e obtemos o tensor de tensões de Maxwell eletrostático. Ele é dado na forma de componentes por:
e na forma simbólica por:
onde é o tensor identidade apropriado geralmente .
Autovalor Os autovalores do tensor de tensões de Maxwell são dados por:
Esses autovalores são obtidos aplicando iterativamente o lema do determinante de matriz, em conjunto com a fórmula de Sherman–Morrison.
Notando que a matriz da equação característica, , pode ser escrita como:
onde
definimos
Aplicando o lema do determinante de matriz uma vez, obtemos:
Aplicando-o novamente, resulta em:
A partir do último multiplicando à direita, vemos imediatamente que é um dos autovalores.
Para encontrar o inverso de , usamos a fórmula de Sherman-Morrison:
Fatorando o termo no determinante, resta encontrar os zeros da função racional:
Assim, ao resolver
obtemos os outros dois autovalores.
Ver também Densidade de energia de campos elétricos e magnéticos Pressão magnética Tensor de energia-momento eletromagnético Tensão magnética Vetor de Poynting
Referências
Bibliografia complementar David J. Griffiths, "Introduction to Electrodynamics" pp. 351–352, Benjamin Cummings Inc., 2008. John David Jackson, "Classical Electrodynamics, 3rd Ed.", John Wiley & Sons, Inc., 1999. Richard Becker, "Electromagnetic Fields and Interactions", Dover Publications Inc., 1964.
Ligações externas Maxwell Stress Tensor – Artigo do Dr. J.S. Reid (Universidade de Aberdeen)
Categoria:Eletromagnetismo Categoria:Grandezas físicas tensoriais Categoria:James Clerk Maxwell