Em uma teoria relativística da física, um escalar de Lorentz é uma expressão escalar cujo valor é invariante sob qualquer Transformação de Lorentz. Um escalar de Lorentz pode ser gerado, por exemplo, a partir do produto escalar de vetores ou pela contração de um tensor. Embora as componentes das quantidades contraídas possam mudar sob transformações de Lorentz, os escalares de Lorentz permanecem inalterados.
Um escalar de Lorentz simples no Espaço-tempo de Minkowski é a distância espaço-temporal ("comprimento" da diferença) de dois eventos fixos no espaço-tempo. Enquanto os quadrivetores de "posição" dos eventos mudam entre diferentes referenciais inerciais, sua distância espaço-temporal permanece invariante sob a transformação de Lorentz correspondente. Outros exemplos de escalares de Lorentz são o "comprimento" de uma quadrivelocidade (veja abaixo), ou a Curvatura de Ricci em um ponto no espaço-tempo na Relatividade geral, que é uma contração do Tensor de curvatura de Riemann.
Escalares simples na relatividade restrita
Comprimento de um vetor posição
frame|left|Linhas de universo para duas partículas em velocidades diferentes. Na Relatividade restrita, a localização de uma partícula no Espaço-tempo quadridimensional é dada por
onde é a posição no espaço tridimensional da partícula em relação a um evento de referência, é a velocidade no espaço tridimensional e é a Velocidade da luz.
O "comprimento" do vetor é um escalar de Lorentz e é dado por
onde é o tempo próprio medido por um relógio no referencial de repouso da partícula e a Métrica de Minkowski é dada por
Esta é uma métrica de tipo tempo (time-like).
Frequentemente, a métrica de Minkowski é apresentada em uma forma na qual o sinal geral é invertido.
Esta é uma métrica de tipo espaço (space-like).
Na métrica de Minkowski, o intervalo de tipo espaço é definido como
Utilizaremos a métrica de Minkowski de tipo espaço no restante deste artigo.
Comprimento de um vetor velocidade
frame|left|Os vetores velocidade no espaço-tempo para uma partícula em duas velocidades diferentes. Na relatividade, uma aceleração é equivalente a uma rotação no espaço-tempo.
A velocidade no espaço-tempo é definida como
onde
A magnitude da quadrivelocidade é um escalar de Lorentz,
Portanto, é um escalar de Lorentz.
Produto interno de aceleração e velocidade
A quadriaceleração é dada por
A quadriaceleração é sempre perpendicular à quadrivelocidade:
Portanto, podemos considerar a aceleração no espaço-tempo simplesmente como uma rotação da quadrivelocidade. O produto interno da aceleração pela velocidade é um escalar de Lorentz e é igual a zero. Esta rotação é simplesmente uma expressão da conservação de energia:
onde é a energia de uma partícula e é a força tridimensional sobre a partícula.
Energia, massa de repouso, momento linear e velocidade a partir do quadrimomento
O quadrimomento de uma partícula é
onde é a massa de repouso da partícula, é o momento no espaço tridimensional e é a energia da partícula.
Energia de uma partícula
Considere uma segunda partícula com quadrivelocidade e uma velocidade tridimensional . No referencial de repouso da segunda partícula, o produto interno de com é proporcional à energia da primeira partícula:
onde o subscrito 1 indica a primeira partícula.
Como a relação é verdadeira no referencial de repouso da segunda partícula, ela é verdadeira em qualquer referencial. , a energia da primeira partícula no referencial da segunda, é um escalar de Lorentz. Portanto,
em qualquer referencial inercial, onde ainda representa a energia da primeira partícula no referencial da segunda.
Massa de repouso da partícula
No referencial de repouso da partícula, o produto interno do momento é
Portanto, a massa de repouso () é um escalar de Lorentz. A relação permanece verdadeira independentemente do referencial no qual o produto interno é calculado. Em muitos casos, a massa de repouso é escrita como para evitar confusão com a massa relativística, que é .
Momento tridimensional de uma partícula
Note que
O quadrado da magnitude do momento tridimensional da partícula, conforme medido no referencial da segunda partícula, é um escalar de Lorentz.
Medição da velocidade tridimensional da partícula
A velocidade tridimensional, no referencial da segunda partícula, pode ser construída a partir de dois escalares de Lorentz:
Escalares mais complexos
Escalares também podem ser construídos a partir de tensores e vetores, através da contração de tensores (como ), ou combinações de contrações de tensores e vetores (como ).
Referências
Ligações externas
Categoria:Conceitos fundamentais da física Categoria:Escalares Categoria:Espaço-tempo de Minkowski Categoria:Hendrik Lorentz Categoria:Relatividade