Em geometria, o lema do incentro-exincentro é o teorema de que o segmento de reta entre o incentro e qualquer exincentro de um triângulo, ou entre dois exincentros, é o diâmetro de uma circunferência (uma circunferência incentro-exincentro ou exincentro-exincentro) que passa por dois vértices do triângulo e que tem centro sobre a circunferência circunscrita. Este teorema é mais conhecido na Rússia, onde é chamado de teorema do trillium () ou lema do tridente (), baseado na semelhança da figura geométrica com uma flor de trillium ou com um tridente.
Essas relações derivam do fato do incentro e os exincentros de qualquer triângulo formarem um sistema ortocêntrico cujo círculo de nove pontos é o círculo circunscrito do triângulo original. O teorema é útil para resolver problemas competitivos de geometria euclidiana, e pode ser usado para reconstruir um triângulo a partir de um vértice, o incentro e o circuncentro.
Enunciado miniaturadaimagem|Lema incentro-exincentro com incentro e exincentro Seja um triângulo qualquer. Seja o seu incentro e seja o ponto onde a reta (a bissetriz interna de ) cruza a circunferência circunscrita a . Então, o teorema afirma que é equidistante de , e de (isto é, dista o mesmo até esses três pontos). Equivalentemente:
A circunferência que passa por , e tem centro em . Em particular, isto implica que o centro desta circunferência fica sobre o círculo circunscrito. Os três triângulos , e são isósceles, tendo como vértice comum aos lados de mesmo comprimento.
Um quarto ponto , o exincentro de com relação a , também está à mesma distância de , diametralmente oposto a .
Demonstração Pelo teorema do ângulo inscrito,
Já que é uma bissetriz interna,
Também concluímos que
Ver também
Teorema da Bissetriz Interna
Referências
Categoria:!CS1 russo-fontes em língua (ru) Categoria:Teoremas de matemática Categoria:Geometria do triângulo