right|thumb|Medianele și centrul de greutate al triunghiului

Mediana într-un triunghi este segmentul (ceviană) determinat de un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse acestuia. Există trei mediane corespunzătoare celor trei laturi ale triunghiului. Acestea se intersectează într-un punct numit centrul de greutate al triunghiului.

Proprietăți Concurența medianelor într-un triunghi Toate cele trei mediane ale unui triunghi sunt concurente într-un punct G numit centru de greutate al acestuia. Centrul de greutate se găsește pe fiecare mediană la 1/3 de mijlocul laturii pe care cade mediana și 2/3 de vârful triunghiului din care pleacă mediana.Algebra.com

Împărțirea egală a ariilor Ca o consecință imediată a proprietății anterioare, rezultă că fiecare mediană împarte triunghiul în alte două triunghiuri de arii egale (echivalente). Toate cele trei mediane împart triunghiul în 6 triunghiuri mai mici având arii egale.

Demonstrație directă

În figura alăturată se observă că este linia mijlocie a triunghiului :, opusă laturii . Prin urmare, este paralelă cu și are lungimea egală cu .

Deoarece BC || DF rezultă egalitatea unghiurilor:

și

fiind alterne interne. Prin urmare, triunghiurile și sunt asemenea. Rezultă că

Demonstrație prin teorema lui Ceva Deoarece: = = = 1, rezultă că și : . . =1. Deci, conform teoremei reciproce pentru teorema lui Ceva medianele sunt concurente.

Lungimea medianei Folosind teorema lui Stewart, lungimea medianei corespunzătoare laturii a este egală cu: .

Alte proprietăți Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei are o lungime egală cu jumătate din cea a ipotenuzei. Medianele unui triunghi dreptunghic având ipotenuza c satisfac proprietatea Medianele corespunzătoare laturilor a și b sunt perpendiculare dacă și numai dacă Boskoff, Homentcovschi, and Suceava (2009), Mathematical Gazette, Note 93.15. Între lungimile laturilor unui triunghi și lungimile medianelor există relația:Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996: pp. 86-87.

Aria unui triunghi oarecare, A, poate fi exprimată în funcție de lungimile medianelor ma, mb și mc și semisuma lungimilor medianelor respective σ = astfel:Benyi, Arpad, A Heron-type formula for the triangle, in ''Mathematical Gazette" 87, July 2003, pp. 324–326.

Note

Vezi și Bisectoare Înălțime (geometrie) Mediatoare Linie mijlocie

Legături externe

Categorie:Geometria triunghiului