Ecuația de gradul al doilea este o ecuație algebrică polinomială de gradul al doilea, adică o ecuație de forma , în care este necunoscuta, iar și . Această ecuație este studiată împreună cu funcția polinomială de gradul al doilea și cu relațiile dintre coeficienți și rădăcini, deoarece aceleași formule dau atât rezolvarea (soluțiile) ecuației, cât și graficul parabolei asociate.Răzvan Morariu, Mihai Gligor, Programare în limbajul C cu aplicații în inginerie mecanică, UTPress, secțiunea 3.7 „Rezolvarea ecuației de gradul al doilea” (O lucrare de informatică nu este o sursă bună pentru matematica elementară.)
Definiție
O ecuație de gradul al doilea în necunoscuta este o ecuație algebrică în care termenul de grad maxim este . Condiția este esențială deoarece dacă , ecuația nu mai este de gradul al doilea, ci devine fie ecuație de gradul întâi, fie o relație imposibilă sau o identitate, după valorile celorlalți coeficienți.
În forma sa generală, ecuația se scrie
Când coeficienții sunt înlocuiți cu elemente ale unui corp comutativ, definiția rămâne aceeași. Totuși, în cele mai multe cazuri coeficienții sunt numere reale.Universitatea din București, Facultatea de Matematică și Informatică, Algebră II - București (Autor, URL pentru verificabilitate? Citare la nivel de pagină?)
Forma generală, forma redusă și forma canonică
Forma generală este . Prin împărțirea cu se obține forma redusă:
Forma redusă este utilă deoarece scoate în evidență structura ecuației și simplifică aplicarea relațiilor dintre rădăcini și coeficienți. Din forma redusă se ajunge, prin completarea pătratului, la
Pentru ecuația generală, aceeași idee rezultă
unde este discriminantul.
Pentru funcția asociată , aceasta este forma canonică:
cu Ș și
Vârful parabolei are coordonatele , iar axa de simetrie este dreapta .Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, Funcția de gradul al doilea. Numere complexe. Progresii. (Autor, URL pentru verificabilitate? Citare la nivel de pagină?)
Discriminantul
Discriminantul unei ecuații de gradul al doilea se notează cu (delta), și este dat de formula:
El controlează numărul și natura soluțiilor reale. Din punct de vedere al reprezentării grafice, semnul lui arată câte puncte de intersecție are parabola cu axa absciselor. Dacă , parabola taie axa în două puncte distincte; Dacă , este tangentă la axă; Dacă , nu o intersectează în planul real.
În forma redusă , discriminantul devine .
Formula de rezolvare
Prin completarea pătratului sau prin aplicarea formulei pătratului unui binom (formulă de calcul prescurtat), ecuația devine în
De aici rezultă formula de rezolvare:
Această formulă este validă pentru coeficienți reali atunci când și, în forma algebrică, rămâne utilă și în cadrul numerelor complexe. În cazul coeficienților reali, ecuația are soluții reale numai atunci când radicalul este definit în .
Numărul de soluții reale
Pentru coeficienți reali și , se disting trei cazuri: Dacă , ecuația are două soluții reale distincte; Dacă , ecuația are o singură soluție reală, numită rădăcină dublă, ; Dacă , ecuația nu are soluții reale.
Interpretarea grafică este dată de soluțiile reale care sunt abscisele punctelor în care parabola intersectează axa .
În cadrul numerelor complexe, situația este mai generală. Pentru coeficienți reali și , rădăcinile sunt complexe conjugate; Dacă avem , o ecuație de gradul al doilea are două rădăcini, numărate cu multiplicitate.Prof. Ovidiu Sontea, Prof. Gabriel Vranceanu, „Lecția 1”, Gazeta Matematică, Seria B, Supliment pregătire Bacalaureat, Universitatea din București, 2012
Relațiile lui Viète
Dacă și sunt rădăcinile ecuației , atunci
Aceste relații sunt numite relațiile lui Viète. Ele permit trecerea de la rădăcini la coeficienți și invers. Dacă se cunosc suma și produsul rădăcinilor, atunci ecuația redusă corespunzătoare este
Exemplu: Dacă rădăcinile sunt și , atunci ecuația este . Verificarea se face imediat, iar suma ne dă , și produsul va fi .
Relațiile lui Viète sunt folosite frecvent în probleme de determinare a coeficienților, în studiul ecuațiilor cu parametru și în construirea ecuației având rădăcinile cunoscute.Universitatea din București, Facultatea de Matematică și Informatică, Foaia disciplinei pentru activități de algebră și polinoame, cu mențiunea „relațiile lui Viète: aplicații” (Foaia disciplinei este o simplă semnalare, nu conține materia.)
Factorizarea (atunci când este posibilă)
Dacă ecuația are rădăcinile și , atunci polinomul corespunzător se factorizează (descompune) astfel:
În cazul rădăcinii duble , factorul se repetă:
În , o astfel de factorizare în factori liniari apare exact când .
Dacă , factorizarea în factori liniari reali nu este posibilă, deși în orice ecuație de gradul al doilea se descompune în produs de doi factori liniari.
Ecuații incomplete
Se numesc ecuații incomplete acele ecuații de gradul al doilea în care lipsește unul dintre termenii sau .
Dacă , ecuația are forma și se rezolvă prin factorizare: , deci și Dacă , ecuația are forma , adică . Pentru acest tip, există soluții reale numai dacă . Dacă , ecuația devine și are rădăcina dublă .
Legătura cu funcția algebrică de gradul al doilea
Ecuația este strâns legată de funcția algebrică de gradul al doilea
Soluțiile ecuației sunt exact abscisele punctelor în care graficul lui intersectează axa . Din acest motiv, ecuația poate fi rezolvată și geometric.
Graficul lui este o parabolă cu axa de simetrie și vârful . Dacă , parabola este deschisă în sus, iar vârful este punct de minim; Dacă , parabola este deschisă în jos, iar vârful este punct de maxim. Forma canonică arată direct aceste proprietăți:
Din punct de vedere al inecuațiilor de gradul al doilea, această legătură este în felul următorul: Semnul lui se citește din poziția parabolei față de axa absciselor.
De pildă, dacă și , atunci pentru orice ;
Dacă și , atunci pentru orice .
Exemple de rezolvare
Exemplul 1: Două soluții reale distincte
Fie ecuația .
Coeficienții sunt , , , deci
Cum , ecuația are două soluții reale distincte:
Rezultă
Verificare prin factorizare:
Relațiile lui Viète confirmă rezultatul: Ș
Exemplul 2: Rădăcină dublă
Fie ecuația .
Discriminantul este
Ecuația are o rădăcină dublă:
Prin factorizare,
deci soluția dublă este evidentă.
Exemplul 3: Nicio soluție reală
Fie ecuația .
Discriminantul este
Deoarece , ecuația nu are soluții reale.
În mulțimea , rădăcinile sunt
Exemplul 4: Ecuație incompletă
Fie ecuația .
Atunci:
Prin urmare,
Aici lipsește termenul de gradul întâi, iar ecuația se reduce imediat prin extragerea rădăcinii pătrate.
Exemplul 5: Ecuație cu parametru
Fie ecuația , unde . Se cere pentru ce valori ale lui ecuația are două soluții reale distincte.
Discriminantul este:
Condiția devine:
Rădăcinile polinomului sunt:
Așadar, ecuația are două soluții reale distincte pentru sau
Observații importante
Nu se uită condiția , altfel ecuația nu este una de gradul al doilea. La formula de rezolvare, semnul lui trebuie să fie negativ: , nu . Dacă , nu există două soluții distincte, ci o singură soluție dublă. În cazul ecuațiilor incomplete de tipul , factorul comun trebuie scos fără a împărți direct la , altfel se pierde soluția . Factorizarea în factori liniari reali este posibilă numai dacă rădăcinile sunt reale. Pentru coeficienți reali și , rădăcinile nu dispar! Ele există în mulțimea și sunt conjugate.
Note
Vezi și Funcție algebrică de gradul al doilea Formă pătratică
Categorie:Algebră elementară Categorie:Ecuații Categorie:Polinoame