Интерполяционная формула Брахмагупты — интерполяционная формула второго полиномиального порядка, найденная индийским математиком и астрономом Брахмагуптой (598—668) в начале VII века. Поэтическое описание этой формулы на санскрите находится в дополнительной части «Кхандакхадьяки» — труда, завершённого Брахмагуптой в 665 году. Такой же куплет имеется в более ранней его работе «Дхьяна-граха-адхикара», точная дата создания которой не установлена. Однако внутренняя взаимосвязь работ позволяет предположить, что она была создана ранее завершённого в 628 году основного труда учёного — «», поэтому создание интерполяционной формулы второго порядка может быть отнесено к первой четверти VII века. Брахмагупта был первым, кто нашёл и использовал формулу в конечных разностях второго порядка в истории математики (p.111).
Формула Брахмагупты совпадает с интерполяционной формулой второго порядка Ньютона, которая была найдена (переоткрыта) спустя более тысячи лет.
Задача Будучи астрономом, Брахмагупта был заинтересован в получении точных значений синуса на основе небольшого количества известных табулированных значений этой функции. Таким образом, перед ним стояла задача найти величину , по имеющимся в таблице значениям функции: … … … …
При условии, что значения функции вычислены в точках с постоянным шагом , ( для всех ), Ариабхата предложил использовать для расчётов (табличные) первые конечные разности:
Математики до Брахмагупты использовали очевидную формулу линейной интерполяции
,
где .
Брахмагупта заменил в этой формуле другой функцией конечных разностей, которая позволяет получать более точные по порядку значения интерполируемой функции.
Алгоритм вычислений Брахмагупты В терминологии Брахмагупты разность называется прошлый отрезок (गत काण्ड), называется полезный отрезок (भोग्य काण्ड). Длина отрезка до точки интерполирования в минутах называется обрубком (विकल). Новое выражение, которое должно заменить называется правильным полезным отрезком (स्फुट भोग्य काण्ड). Вычисление правильного полезного отрезка описано в куплетеDhyana-Graha-Upadesa-Adhyaya, 17; Khandaka Khadyaka, IX, 8:
Согласно комментарию Бхуттопалы (X век) стихи переводятся так: Умножь обрубок на полуразность полезного и прошлого отрезков и раздели результат на 900. Добавь результат к полусумме полезного и прошлого отрезков, если эта полусумма меньше полезного отрезка. Если больше, то вычти. Получишь правильную полезную разностьЗавершающая часть алгоритма связана с тем, что математики до Брахмагупты и длительное время после него не пользовались понятием отрицательного числа. Поэтому реально вычислялась не разность, а модуль разности , а потом это неотрицательное число прибавлялось или вычиталось, в зависимости от знака разности, определяемого с помощью неравенства..
900 минут (15 градусов) — это интервал между аргументами табличных значений синуса, которыми пользовался Брахмагупта.
Формула Брахмагупты в современных обозначениях В современных обозначениях алгоритм вычислений Брахмагупты выражается формулами:
Это интерполяционная формула Ньютона второго порядка.
Доказательство Неизвестно как Брахмагупта получил эту формулу. В наше время такие формулы доказывают с помощью разложения функций в правой расти равенства в ряд Тейлора в точке . Однако доказать формулу можно и элементарными методами: после замены формула Брахмагупты задаёт параболу проходящую через три точки . Для вывода этой формулы достаточно найти коэффициенты этой параболы с помощью решения системы трёх линейных уравнений, определяемых этими точками.
Точность формулы Компьютерный расчёт показывает, что имея таблицу из 7 значений синуса в узлах с шагом 15 градусов, Брахмагупта мог вычислять эту функцию с максимальной ошибкой не более 0,0012 и средней ошибкой не более 0,00042.
Примечания
Категория:Интерполяция Категория:Математики Индии Категория:История математики