Ста́рая ква́нтовая тео́рия (иногда ста́рая ква́нтовая меха́ника) — подход к описанию атомных явлений, который был развит в 1900—1924 годах и предшествовал созданию квантовой механики. Характерная черта этой теории — одновременное использование классической механики и некоторых предположений, вступавших в противоречие с ней. Основа старой квантовой теории — модель атома Бора, к которой позднее Арнольд Зоммерфельд добавил квантование z-компоненты углового момента, неудачно названное пространственным квантованием. Квантование z-компоненты дало возможность ввести эллиптические электронные орбиты и предложить концепцию энергетического вырождения. Успех старой квантовой теории состоял в корректном описании атома водорода и нормального эффекта Зеемана.
Основной инструмент старой квантовой теории — квантование Бора — Зоммерфельда, процедура, которая формирует некоторый дискретный набор состояний интегрированного движения классической системы и определяет их как разрешённые состояния этой системы аналогично разрешённым орбитам в модели Бора. Система может находиться только в этих состояниях и ни в каких других. Эта теория не может описывать хаотическое движение, поскольку требует полной замкнутости траекторий движения классической системы.
Основное отличие старой квантовой теории от последовавшей за ней квантовой механики — в старой квантовой теории сохранялось представление, будто электроны вращаются вокруг ядра атома по конкретным орбитам, и их энергия и импульс зависят от параметров орбиты. В квантовой механике считается, что электрон находится где-то на орбите, но нельзя делать никаких утверждений о траектории его движения, в частности — утверждать, что он вращается по орбите. Понятие орбиты заменяется понятием орбитали — области около ядра атома, в которой нахождение электрона наиболее вероятно.
История
Точкой отсчёта старой квантовой теории (и квантовой механики вообще) считается появление в самом начале XX века работ Макса Планка по излучению и поглощению света. Непосредственная разработка квантовой теории началась с внедрением Эйнштейном квантовой теории теплоёмкости твёрдого тела. В модели Эйнштейна считается, что каждый атом в решётке является независимым квантованным гармоническим осциллятором, что даёт возможность объяснить наряду с классическим законом Дюлонга — Пти при высоких температурах падение теплоёмкости при низких. При помощи такого приёма квантовые принципы были распространены на движение атомов. Позже Дебай усовершенствовал эту модель.
В 1913 году Нильс Бор использовал соображения, которые он вскоре сформулировал как принцип соответствия, и разработал модель атома водорода, которая могла объяснить его дискретный спектр, сформулировав два известных постулата. Позже Арнольд Зоммерфельд развил идеи Бора, распространив его модель на произвольные интегрируемые системы, используя принцип адиабатической инвариантности квантовых чисел. Модель Зоммерфельда была существенно ближе к современной квантовой механике, чем модель Бора.
На протяжении 1910-х и в начале 1920-х годов с помощью старой квантовой теории было успешно решено множество задач. Стала понятной природа колебательных и вращательных спектров молекул, открыт спин электрона, благодаря чему было объяснено существование полуцелых квантовых чисел. Планк ввёл нулевые колебания, Зоммерфельд успешно применил модель Бора к релятивистскому атому водорода, а Хендрик Крамерс объяснил эффект Штарка. Бозе и Эйнштейн предложили квантовую статистику для фотонов.
Крамерс предложил метод расчёта вероятностей перехода между квантовыми состояниями с использованием фурье-компонент движения, который позже был развит им вместе с Вернером Гейзенбергом в матричное полуклассическое отображение вероятностей перехода. Потом на основе этих идей Гейзенберг построил матричную механику — формулировку квантовой механики на основе матриц перехода.
В 1924 году Луи де Бройль разработал волновую теорию материи, которую немного позже развил Эйнштейн, выведя полуклассическое уравнение для волн материи. В 1925 году Эрвин Шрёдингер предложил квантовомеханическое волновое уравнение, которое дало возможность собрать воедино все результаты старой квантовой теории без каких-либо неувязок. Волновая механика Шрёдингера развивалась независимо от матричной механики Гейзенберга, но в экспериментах было видно, что оба метода предсказывают одинаковые результаты. Поль Дирак в 1926 году показал, что обе картины эквивалентны и вытекают из более общего метода — .
Появление матричной и волновой механики ознаменовало конец старой квантовой теории.
Основные принципы Основная идея старой квантовой теории состояла в том, что движение атомной системы — квантованное (дискретное). Система подчиняется законам классической механики за единственным исключением: не все движения системы разрешены, а только те, которые соответствуют правилу
где — канонические импульсы, — сопряженные к ним координаты, — квантовые числа, которые могут быть только целыми. Интеграл берётся по замкнутой (по каждой паре координата-импульс) траектории движения, что соответствует постоянной энергии (которая описывается функцией Гамильтона ). Кроме того, интеграл представляет собой площадь в фазовом пространстве, которая соответствует классическому действию. Действие, однако, является квантованным в единицах постоянной Планка, поэтому часто постоянную Планка называют квантом действия.
Для того чтобы условие квантования имело смысл, классическое движение должно разделяться, то есть должны существовать координаты такие, что движение по каждой из таких координат будет периодическим (в случае несоизмеримости периодов по различным координатам полное движение периодическим не будет). Старая квантовая теория подчиняется принципу соответствия, основанному на следующих наблюдениях: величины, которые квантуются, должны быть адиабатическими инвариантами.
Экспериментальная база
Излучение абсолютно чёрного тела
Одна из главных задач физики конца XIX века — проблема излучения абсолютно чёрного тела. Абсолютно чёрное тело — это физическая идеализация: тело, которое полностью поглощает падающее излучение любых длин волн. Реальные же вещества чёрного цвета, например, сажа, поглощают 99 % падающего излучения в видимом диапазоне длин волн, однако инфракрасное излучение поглощается ими значительно хуже. Среди тел Солнечной системы абсолютно чёрному телу лучше всего соответствует Солнце.
Согласно классической термодинамике спектральная интенсивность излучения должна быть одинаковой для любых абсолютно чёрных тел, нагретых до одинаковой температуры. Такое предсказание подтверждается экспериментом. Спектральная интенсивность достигает максимума при некоторой частоте , а по обе стороны от максимума падает до нуля. Частота максимума , как и его высота, увеличивается с температурой.
Попытки теоретически предсказать форму экспериментальной кривой спектральной интенсивности абсолютно чёрного тела на основе законов классической физики привели к формуле Рэлея — Джинса:
Кроме области малых частот, закон формулы Рэлея — Джинса не согласуется с экспериментом. Он предсказывает, что полная интенсивность излучаемой энергии бесконечно растёт с частотой (ультрафиолетовая катастрофа), но в действительности полная интенсивность конечна.
В 1900 году Макс Планк постулировал, что обмен энергией между атомами и испущенным ими электромагнитным излучением происходит дискретными порциями энергии, а наименьшая порция энергии при заданной частоте равна
,
где — постоянная Планка. При этом при взаимодействии атомов и излучения могут передаваться только целые кратные порции энергии . Используя этот постулат, Планк вывел формулу для спектральной интенсивности теплового равновесного электромагнитного излучения абсолютно чёрного тела:
что прекрасно согласуется с экспериментом. Таким образом, Планк решил проблему излучения абсолютно чёрного тела, используя противоречащую классической физике идею о квантовании энергии.
Фотоэффект
Фотоэффект — явление эмиссии веществом электронов под действием света (и, вообще говоря, любого электромагнитного излучения). Первые систематические исследования фотоэффекта выполнены русским физиком Столетовым в 1888 году, который установил несколько важных закономерностей. Ключевым моментом оказался тот факт, что энергия фотоэлектронов абсолютно не зависит от интенсивности падающего света: повышение интенсивности увеличивает лишь число выбиваемых электронов, но не их скорость. Однако оказалось, что скорость электронов зависит от частоты излучения, причём с увеличением частоты энергия фотоэлектронов растёт линейно. Такие явления были непонятны с позиции классической электродинамики.
Теоретическое объяснение фотоэффекта дал Альберт Эйнштейн в 1905 году. Используя гипотезу Планка, он предположил, что свет не только излучается порциями (квантами), но и вообще представляет собой поток квантов (фотонов) с энергией . При фотоэффекте часть падающего света отражается от поверхности, а другая часть проникает внутрь поверхностного слоя металла и поглощается там. Когда электрон поглощает фотон, он получает от него энергию и, затрачивая часть её на работу выхода , покидает металл. Таким образом, имеем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:
где — энергия ионизации (которую для металлов можно положить нулю, поскольку металл имеет большое количество свободных электронов), — кинетическая энергия фотоэлектрона. Это уравнение было вскоре интенсивно проверено в экспериментах Роберта Милликена, за которые в том числе он получил Нобелевскую премию по физике 1923 года.
Таким образом, явление фотоэффекта является экспериментальным подтверждением гипотезы Планка и наличия у света корпускулярных свойств.
Опыт Франка — Герца
Эксперимент по неупругому рассеянию электронов на атомах, поставленный в 1913—1914 годах Джеймсом Франком и Густавом Людвигом Герцом, подтвердил справедливость постулатов Бора.
В этом опыте атомы или молекулы более-менее разреженного газа бомбардируются медленными электронами. При этом исследуется распределение скоростей электронов до и после столкновений. Если столкновения упругие, то распределение скоростей не меняется; и наоборот, при неупругих столкновениях часть электронов теряет свою энергию, отдавая её атомам, с которыми они сталкивались, поэтому распределение скоростей меняется.
В результате опыта Франка — Герца обнаружилось, что: при скоростях электронов, которые меньше некоторой критической скорости, столкновение является полностью упругим, то есть электрон не передаёт атому свою энергию, но отскакивает от него, меняя только направление своей скорости; при достижении критической скорости удар становится неупругим, то есть электрон теряет часть своей энергию и передаёт её атому, который при этом переходит в другое стационарное состояние, характеризующееся большей энергией.
Примеры применения
Тепловые свойства гармонического осциллятора Гармонический осциллятор — простейшая система старой квантовой теории. Запишем гамильтониан:
Энергетические уровни системы определяются орбитами движения, а орбиты отбираются согласно следующему квантовому правилу: площадь в фазовом пространстве, которую покрывает каждая орбита, должна быть целой. Отсюда следует, что энергия квантуется по правилу Планка:
известный результат, по которому формулируется правило квантования старой квантовой теории. Следует отметить, что этот результат отличается от настоящего на , поскольку из квантовой механики известно, что нулевой уровень для гармонического осциллятора имеет энергию .
Термодинамические величины для квантованного гармонического осциллятора можно определить с помощью усреднения энергии в каждом из дискретных состояний: