Отображение тент в теории динамических систем задаётся следующим образом:
Для значений отображение тент переводит отрезок в себя, являясь динамической системой c дискретным временем. В частности, орбитой точки из интервала является последовательность :
Несмотря на то, что отображение тент является довольно простой нелинейной динамической системой, оно демонстрирует ряд свойств, характерных и для более сложных систем: плотность периодических орбит, перемешивание, чувствительность к начальным условиям, т.е. хаотичностьLynch, Stephen. "Nonlinear discrete dynamical systems." Dynamical Systems with Applications using Maple. Birkhäuser Boston, 2010. 263-295..
Свойства
Если , является притягивающей неподвижной точкой: система будет стремиться к нулю с устремлением времени в бесконечность при любом исходном значении из отрезка . Если , все — неподвижные точки, а — предпериодические точки единичного периода (после одной итерации переходят в неподвижные). Если , то отображение имеет две неподвижные точки: и . Причем обе из них будут неустойчивыми, то есть значения , лежащие в окрестностях неподвижных точек, будут отдаляться от них с последующими итерациями. Более того, для таких значений , в интервале содержатся и периодические, и непериодические точки. Если , то система отображает множество интервалов из отрезка в себя, и их объединение является множеством Жюлиа отображения тент, т.е. множеством точек, чьи орбиты неустойчивы. увеличение показывает, что при μ ≈ 1, множество Жюлиа состоит из нескольких интервалов. На диаграммах видно 4 и 8 интервалов при достаточном увеличении.
Если , то интервалы из отрезка сходятся и множество Жюлиа — это весь интервал (см. бифуркационную диаграмму).
Если , то система переводит отрезок [0;1] в себя. В этом случае периодические точки плотны на отрезке, так что отображение демонстрирует хаотичностьLi, Tien-Yien, and James A. Yorke. "Period three implies chaos." American mathematical monthly (1975): 985-992.. Непериодическое поведение характерно только для иррациональных чисел, что может быть показано с помощью механизма, которым отображение действует на представленное в двоичной записи число: оно перемещает двоичную запятую вправо на один знак, а затем, если то, что оказалось слева от запятой — это единица, отбрасывает её и обращает все единицы в нули и наоборот (кроме последней единицы для чисел с конечной двоичной записью). Для иррационального числа, двоичная запись которого непериодична, это бесконечный процесс. Кроме того, стоит обратить внимание, что для отображение тент топологически сопряжено логистическому отображению для и полусопряжен отображению удвоения, что указывает на сходство динамических свойств этих отображенийSmale, Stephen, Morris W. Hirsch, and Robert L. Devaney. "Discrete dynamical systems." Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos. Vol. 60. Academic Press, 2003. 327-357.. Действительно, пусть — орбита отображения тент при , а — орбита логистического отображения для , тогда они связаны соотношением: . Если , множество Жюлиа отображения все еще содержит бесконечное количество и периодических, и непериодических точек, но почти всюду точки отрезка стремятся к бесконечности. Само множество становится канторовым. В частности, множество Жюлиа отображения тент для — стандартное канторово множество.
Асимметричное отображение тент Также объектом изучения теории динамических систем является асимметричное отображение тент . Его можно считать расширением случая стандартного отображения тент:
Асимметричное отображение тент сохраняет вид кусочно-линейной функции и может быть использовано для представления вещественных чисел из по аналогии с десятичной записьюLagarias, J. C., H. A. Porta, and K. B. Stolarsky. "Asymmetric tent map expansions. I. Eventually periodic points." Journal of the London Mathematical Society 2.3 (1993): 542-556..
См. также Функция (математика) Отображение удвоения Логистическое отображение Динамическая система Порядок Шарковского Постоянная Фейгенбаума Аттрактор
Литература
Категория:Хаотические отображения