Неравенство Гаека — Реньи в теории вероятностей названо по имени Ярослава Гаека и Альфреда Реньи.

Формулировка Если случайные величины являются независимыми, , а  — невозрастающая последовательность неотрицательных чисел, то для любого и для всех выполнено

Доказательство Введём следующие обозначения: ,

Найдем математическое ожидание и преобразуем его к удобному виду:

Рассмотрим следующие случайные события для некоторого

События являются несовместными. Значит,

Теорема будет доказана, если будет установлено неравенство:

Докажем его:

Следствие (неравенство Колмогорова) Если случайные величины независимы и имеют конечные математические ожидания и дисперсии, то

Доказательство Доказательство вытекает из неравенства Гаека — Реньи, если

Это неравенство можно записать в виде:

Литература (Глава 6 § 3 раздел 2)

См. также Закон больших чисел Центральная предельная теорема

Категория:Теория вероятностей