Пятиугольные числа — один из классов классических многоугольных чисел. Последовательность пятиугольных чисел имеет вид (): 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477…
Общая формула для -го по порядку пятиугольного числа:
Определение Пятиугольные числа, как и все прочие классические -угольные числа, можно определить как частичные суммы арифметической прогрессии, которая начинается с 1, а разность её для пятиугольных чисел равна :
Можно также определить -е пятиугольное число как сумму последовательных натуральных чисел:
Сумма -го квадратного числа с -м треугольным числом даёт -е пятиугольное число:
Эта теорема была впервые опубликована Никомахом («Введение в арифметику», II век).
Наконец, ещё один способ определения пятиугольного числа — рекурсивный:
Свойства Пятиугольные числа тесно связаны с треугольными:
Если в формуле указать для более общую последовательность:
то получатся обобщённые пятиугольные числа: 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155... ()
Леонард Эйлер обнаружил обобщённые пятиугольные числа в следующем тождестве:
Степени в правой части тождества образуют последовательность обобщённых пятиугольных чисел.
Проверка на пятиугольное число Задача. Выяснить, является ли заданное натуральное число пятиугольным.
Решение. Вычислим значение выражения:
является пятиугольным числом тогда и только тогда, когда — целое число, причём номер в последовательности пятиугольных чисел равен
Квадратные пятиугольные числа Существуют числа, одновременно квадратные и пятиугольныеWeisstein, Eric W. "Pentagonal Square Number ." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.: 0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801… (
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Фигурные числа