Двойной ряд — числовая последовательность, элементы которой занумерованы парами целых положительных чисел (индексов), рассматриваемая совместно с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм ряда.
Определение
Пусть — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность частичных сумм ряда
каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности
Вообще, для обозначения ряда используется символ:
поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.
В соответствии с этим говорится о сходимости числового двойного ряда: числовой двойной ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм, то есть ряд сходится и имеет сумму , если, каково бы ни было , найдутся такие числа и , что при и выполняется неравенство . Также условие сходимости двойного ряда к сумме можно записать в виде . числовой двойной ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм; числовой двойной ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.
Если числовой ряд сходится, то предел последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:
Свойства Пусть в сходящемся двойном ряде с суммой сходятся все строки, а также пусть сходится ряд, составленный из их сумм, то есть пусть существуют пределы в равенствах и . Тогда . Аналогично, если существуют пределы и . Тогда . Теорема Маркова. Пусть в двойном ряде сходятся все строки и все столбцы . Обозначим сумму строк . Тогда: - е остатки строк образуют сходящийся ряд с некоторой суммой . Для того, чтобы сходился ряд, составленный из сумм столбцов необходимо и достаточно существование предела . Для равенства необходимо и достаточно, чтобы было .
Примечания
Литература
Категория:Ряды