Филинг-радиус — метрическая характеристика Риманова многообразия.
Предложенa Громовым в 1983 году. Он использовал филинг-радиус в доказательстве систолического неравенства для существенных многообразий.
Кривые на плоскости
Филинг-радиус () замкнутой кривой C на плоскости определяется как наибольший радиус круга, который содержится внутри кривой.
Филинг-радиус кривой C можно также определить как точную нижнюю грань из таких, что кривая C стягивается в точку в своей -окрестности.
Определение Обозначим через A кольцо или , в зависимости от того, является ли Х ориентируемым или нет.
Тогда фундаментальный класс, обозначамый [X], компактного n-мерного многообразия X, является образующей группы гомологии , и мы полагаем
где обозначает вложение Куратовского Х в пространство ограниченных функций на Х.
Свойства В любой размерности существует константа , что неравенство
выполняется для любого замкнутого риманова -мерного многообразия . Это основное свойство филинг-радуиса, которое используется Громовым в доказательстве систолического неравенства; доказательство с существенными упрощениями и улучшенной константой приведено Александром Набутовским.Alexander Nabutovsky, Linear bounds for constants in Gromov's systolic inequality and related results. Для данного многообразия размерности хотя бы 3, оптимальная константа в неравенстве
зависти только от размерности и его ориентируемости.Brunnbauer, Michael, Filling inequalities do not depend on topology. J. Reine Angew. Math. 624 (2008), 217–231. Филинг-радиус не превосходит трети диаметра.Katz, M.: The filling radius of two-point homogeneous spaces. Journal of Differential Geometry 18, Number 3 (1983), 505–511. Равенство достигается для вещественного проективного пространства с канонической метрикой. В частности, филинг-радиус единичной окружности с индуцированной римановой метрикой равен π/3, то есть одной шестой её длины.
Систоль существенного многообразия не превышает шести его филинг-радиусов. Это неравенство становится равенством для вещественных проективных пространств, как указано выше.
Радиус инъективности компактного многообразия M даёт нижнюю границу на филинг-радиус. А именно,
Примечания
Литература Gromov, M.: Filling Riemannian manifolds, Journal of Differential Geometry 18 (1983), 1-147. Katz, M.: The filling radius of two-point homogeneous spaces. Journal of Differential Geometry 18, Number 3 (1983), 505—511.
Категория:Дифференциальная геометрия и топология Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия