Форма пересечений ориентированного компактного 4-мерного многообразия — определённая симметричная билинейная форма на 2-й группе когомологий многообразия.
Эта форма отражает большую часть топологии многообразия, в том числе информацию о наличии гладкой структуры.
Определение Форма пересечений
определяется как
Если многообразие гладкое, то в определении можно пользоваться когомологиями де Рама, представив a и b 2-формами α и β. Тогда форма пересечений задаётся интегралом , где обозначает внешнее произведение, см. внешняя алгебра.
Связанные определения Сигнатура формы пересечений образуют важный инвариант, который называется сигнатурой многообразия.
Двойственное определение Двойственность Пуанкаре позволяет рассматривать форму пересечений как форму на 2-х группах гомологий. Для этого надо представить элементы группы трансверсально пересекающимися поверхностями и затем посчитать число точек пересечения с кратностями +1 или −1 в зависимости от ориентации пересечения.
Свойства Согласно формуле Ву, четырёхмерное спинорное многообразие имеет чётную форму пересечений, то есть Q(Х,Х) чётно для каждого X. Для односвязных 4-мерных многообразий (или, в более общем случае, для многообразий без 2-кручения в первой гомологии) обратное также верно. 4-мерное многообразие является границей 5-мерного тогда и только тогда, когда оно имеет нулевую сигнатуру. 4-мерные спин-многообразия имеют сигнатуру, кратную восьми. Более того, согласно теореме Рохлина, гладкие компактные 4-мерные спин-многообразия имеют сигнатуру, кратную 16. По теореме Фридмана, для любой унимодулярной симметрической билинейной формы над кольцом целых чисел существует односвязное замкнутое 4-мерное многообразие с такой формой пересечения. Более того: Для чётных форм существует только одно такое многообразие. Если форма нечётна, то существует два таких многообразия, и как минимум одно (возможно, оба) не имеет гладкой структуры. Таким образом, два односвязных замкнутых гладких 4-мерных многообразия с одинаковой формой пересечения гомеоморфны. В нечётном случае два многообразия отличаются отличаются своими инвариантами Кёрби — Зибенманна. По теореме Дональдсона, если гладкое односвязное 4-мерное многообразие имеет положительно определенную форму пересечений, то она диагонализуема. Отсюда следует существование большого числа несглаживаемых 4-мерных многообразий, например E8-многообразие.
Вариации и обобщения Для неориентируемых 4-мерных многообразий аналогично строится форма пересечений с коэффициентами в . Форму пересечений возможно построить на многообразиях произвольной чётной размерности. При этом она является симметричной, если размерность делится на 4, и антисимметричной в противном случае. Сигнатура 4n-мерного многообразия определяется как сигнатура его формы пересечений; она может быть вычислена из классов Понтрягина, см. также род многообразия.
Ссылки
Категория:Маломерная топология