Теорема о расщеплении — классическая теорема в римановой геометрии.
Формулировка Предположим, в полном римановом многообразии с неотрицательной кривизной Риччи имеется прямая, то есть геодезическая , такая, что
для всех
Тогда изометрично произведению
где есть риманово многообразие с неотрицательной кривизной Риччи.
Более того, можно показать, что для некоторого .
История Для поверхностей теорема была доказана Кон-Фоссеном.S. Cohn-Vossen, “Totalkrümmung und geodätische Linien auf einfachzusammenhängenden offenen vollständigen Flächenstücken”, Матем. сб., 1(43):2 (1936), 139–164; Перевод на русский А. С. Солодовникова, «Полная кривизна и геодезические линии на односвязных открытых полных поверхностях», с. 249—287 в книге Топоногов обобщил её на многообразия с неотрицательной секционной кривизной.Toponogov, V. A. Riemannian spaces containing straight lines.
и Громол доказали, что неотрицательность кривизны Риччи является достаточным условием.Jeff Cheeger; Detlef Gromoll, The splitting theorem for manifolds of nonnegative Ricci curvature, Journal of Differential Geometry 6 (1971/72), 119–128.
Позже аналогичная теорема была доказана для лоренцевых многообразий с неотрицательной кривизной Риччи во времениподобных направлениях.Eschenburg, J.-H. The splitting theorem for space-times with strong energy condition.Galloway, Gregory J.(1-MIAM) The Lorentzian splitting theorem without the completeness assumption.Newman, Richard P. A. C. A proof of the splitting conjecture of S.-T. Yau.
Ссылки
Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия