Геометрия инцидентности — раздел классической геометрии, изучающий структуры инцидентности, например принадлежность точки прямой.
В геометрии объекты, такие как евклидова плоскость, являются сложными объектами, использующими концепции длин, углов, непрерывности, отношения «лежит между» и инцидентности.
Структура инцидентности — это то, что остаётся, если отбросить все понятия, кроме данных о том, какие из изучаемых объектов (например, точки) лежат в других объектах (например, окружностях или прямых). Даже при таких ограничениях некоторые теоремы можно доказать и получить интересные факты относительно такой структуры. Такие фундаментальные результаты остаются верными, если добавить другие концепции для получения более богатой геометрии. Иногда авторы размывают различие между процессом изучения и объектом изучения, так что не удивительно, что некоторые авторы используют для структур инциденций название геометрии инциденцийТак, например, делает Л. Сторме в главе о конечной геометрии в книге .
Структуры инциденций возникают естественным образом и изучались в различных областях математики. Соответственно, существует отличающаяся терминология для описания таких объектов. В теории графов они называются гиперграфами, а в теории комбинаторных схем они называются блок-схемами. Кроме разницы в терминологии, в каждой области подход к изучению объекта отличается, и вопросы к объектам ставятся соответственно дисциплине. Если используется язык геометрии, как это делается в геометрии инциденций, говорят о фигурах. Возможно, однако, перевести результаты с терминологии одной дисциплины на язык другой, но часто это приводит к неуклюжим и запутанным утверждениям, не выглядящим естественным образом для дисциплины. В примерах, приведённых в статье, мы используем только примеры, имеющие геометрическое содержание.
Специальный случай, вызывающий большой интерес, имеет дело с конечным набором точек на евклидовой плоскости и в этом случае речь идёт о числе и типах прямых, которые эти точки определяют. Некоторые результаты этого случая можно распространить на более общие случаи, поскольку здесь рассматриваются только свойства инцидентности.
Структуры инцидентности
Структура инцидентности состоит из множества , элементы которого называются точками, множества , элементы которого называются прямыми, и отношения инцидентности между ними, то есть подмножества , элементы которого называются флагами Технически, это структура инцидентности ранга 2, где ранг относится к числу типов объектов рассмотрения (здесь — точки и прямые). Структуры более высоких рангов также изучаются, но некоторые авторы ограничивают себя рангом 2 и мы будем делать то же самое.. Если — флаг, мы говорим, что инцидентна , или, что инцидентна (отношение симметрично), и пишем . Интуитивно ясно, что точка и прямая находятся в таком отношении тогда и только тогда, когда точка лежит на прямой. Если дана точка и прямая , которые не образуют флаг, то точка не лежит на прямой и пара называется антифлагом.
Расстояние в структуре инциденций Нет естественного понятия расстояния (метрики) в структуре инциденций. Однако существует комбинаторная метрика в соответствующих графах инциденций (графах Леви), а именно, длина кратчайшего пути между двумя вершинами в этом двудольном графе. Расстояние между двумя объектами структуры инцидентности – двумя точками, двумя прямыми или точкой и прямой – может быть определено как расстояние между двумя соответствующими вершинами в графе инцидентности структуры инцидентности.
Другой путь определения расстояния опять использует понятия теории графов, на этот раз используется граф коллинеарности структуры инцидентности. Вершинами графа коллинеарности являются точки структуры инцидентности и две вершины соединены ребром, если существует прямая, инцидентная обоим точкам. Расстояние между двумя точками структуры инцидентности тогда можно определить как расстояние между ними в графе коллинеарности.
Если расстояние упоминается в контексте структуры инциденций, необходимо указывать, как расстояние определено.
Частично линейные пространства Наиболее изучаемые структуры инциденций, это структуры, удовлетворяющие некоторым дополнительным свойствам (аксиомам), такие как проективные плоскости, аффинные плоскости, обобщённые многоугольники, частичные геометрии и почти многоугольники. Весьма общие структуры инциденций могут быть получены наложением «мягких» условий, таких как:
является структурой инциденций, для которой выполняются следующие аксиомы: Любая пара различных точек определяет максимум одну прямую. Любая прямая содержит по меньшей мере две различные точки.
В частично линейном пространстве также верно, что любая пара различных прямых пересекаются максимум в одной точке. Это утверждение не включается в аксиомы, поскольку легко доказывается из первой аксиомы.
Дальнейшие ограничения задаются условиями регулярности:
RLk: Каждая прямая инцидентна одному и тому же числу точек. Если это число конечно, оно часто обозначается как .
RPr: Каждая точка инцидентна одному и тому же числу прямых. Если это число конечно, его часто обозначают как .
Из второй аксиомы частично линейного пространства следует, что . Ни одно из условий регулярности не вытекает из другого, так что следует принять .
Конечное частично линейное пространство, удовлетворяющее обоим условиям регулярности с , называется тактической конфигурацией. Некоторые авторы называют такие конфигурации просто конфигурациями или проективными конфигурациями. Если тактическая конфигурация имеет точек и прямых, то, после двойного подсчёта флагов, получается соотношение . Обычно используется обозначение -конфигурация. В специальном случае, когда (а потому, ), вместо обозначения часто пишут просто .
Линейное пространство является частично линейным пространством, таким, что: Любая пара различных точек определяет в точности одну прямую.
Некоторые авторы добавляют аксиому «невырожденности» (или «нетривиальности») к определению (частичного) линейного пространства, такую как:
Существуют по меньшей мере две различные прямыеСуществует несколько альтернативных аксиом такой «нетривиальности». Аксиома может быть заменена на «существует три точки, не лежащие на одной прямой», как в книге Баттена и Бойтельшпахера . Есть другие варианты, но во всех должно присутствовать утверждение существования, которое исключает слишком простые случаи..
Аксиома невырожденности позволяет исключить некоторые очень маленькие примеры (в основном те, в которых множества или состоят менее чем из двух элементов), которые были бы исключениями в общих утверждениях о структурах инцидентности. Альтернативный подход — считать структуры инцидентности, не удовлетворяющие аксиоме невырожденности тривиальными, а удовлетворяющие — нетривиальными.
Любое нетривиальное линейное пространство содержит по меньшей мере три точки и три прямые, так что простейшее нетривиальное линейное пространство — треугольник.
Линейное пространство, имеющее по меньшей мере три точки на каждой прямой, является конфигурацией Сильвестера – Галлаи.
Фундаментальные геометрические примеры Некоторые из базовых понятий и терминологии возникают из геометрических примеров, особенно из проективных плоскостей и аффинных плоскостей.
Проективные плоскости
Проективная плоскость — это линейное пространство, в котором: Любая пара различных прямых пересекаются в точности в одной точке Выполняется условие невырожденности — существует четыре точки, никакие три из которых не коллинеарны.
На проективных плоскостях существует биекция между и . Если является конечным множеством, о проективной плоскости говорят как о конечной проективной плоскости. Порядок конечной проективной плоскости равен , то есть на единицу меньше числа точек на прямой. Все известные проективные плоскости имеют порядки, равные степени простого числа. Проективная плоскость порядка является конфигурацией .
Наименьшая проективная плоскость имеет порядок два и известна как плоскость Фано.
Плоскость Фано
Эта знаменитая геометрия инциденций была разработана итальянским математиком Джино Фано. В его работе по доказательству независимости множества аксиом для проективного n-пространства, которую он разрабатывал , он создал конечное трёхмерное пространство с 15 точками, 35 прямыми и 15 плоскостями, в котором каждая прямая содержит только три точки , Finite Geometries? an AMS Featured Column. Плоскости в этом пространстве состоят из семи точек и семи прямых, которые известны как плоскости Фано.
Плоскость Фано не может быть представлена на евклидовой плоскости с использованием только точек и отрезков (т.е. нереализуема). Это следует из теоремы Сильвестра.
Полный четырёхугольник состоит из четырёх точек, никакие три из которых не коллинеарны. На плоскости Фано три точки, не принадлежащие полному четырёхугольнику, являются диагональными точками четырёхугольника и коллинеарны. Это противоречит аксиоме Фано, часто используемой в аксиоматизации евклидовой плоскости, которая утверждает, что три диагональные точки полного четырёхугольника никогда не коллинеарны.
Аффинные плоскости
Аффинная плоскость — это линейное пространство, удовлетворяющее: Для любой точки и прямой , не инцидентной точке (антифлаг), существует в точности одна прямая , инцидентная (то есть ), не пересекающая (аксиома Плейфера) Выполняется условие невырожденности — существует треугольник, т.е. три неколлинеарные точки.
О прямых и в утверждении аксиомы Плейфера говорят как о параллельных. Любая аффинная плоскость может быть единственным образом расширена до проективной плоскости. Порядок конечной аффинной плоскости равен , числу точек на прямой. Аффинная плоскость порядка является конфигурацией .
Конфигурация Гессе
Аффинная плоскость порядка три является конфигурацией . Если конфигурация вложена в некоторое объемлющее пространство, её называют конфигурацией Гессе. Конфигурация нереализуема на евклидовой плоскости, но реализуема на комплексной проективной плоскости как девять точек перегиба эллиптической кривой с 12 прямыми, инцидентными тройкам этих точек перегиба.
12 прямых могут быть разбиты на четыре класса, внутри которых прямые попарно не пересекаются. Эти классы называются классами параллельности прямых. Если добавить ещё четыре новые точки, по одной точке в каждый класс параллельности, и считать, что все прямые класса параллельности пересекаются в этой новой точке (таким образом, теперь все прямые теперь пересекаются), и добавить ещё одну прямую, содержащую все четыре новые точки, получим проективную плоскость порядка три, конфигурацию . В обратную сторону, начав с проективной плоскости порядка три (такая плоскость единственна) и удалив любую (одну) прямую и все лежащие на ней точки, получим аффинную плоскость порядка три (она тоже единственна).
Удаление одной точки и четырёх прямых, проходящих через неё (но не другие точки на этой прямой), получим конфигурацию Мёбиуса — Кантора.
Частичные геометрии
Если задано целое число , тактическая конфигурация, удовлетворяющая аксиоме: Для любого антифлага существуют флагов , такие что и , называется частичной геометрией. Если существует точек на прямой и прямых проходят через точку, обозначение этой частичной геометрии — .
Если , эти частичные геометрии являются обобщёнными четырёхугольниками.
Если , конфигурации называются системами Штейнера.
Обобщённые многоугольники
Для Использование в имени является стандартным и не следует путать это число с числом точек в конфигурации., обобщённый -угольник — это частично линейное пространство, граф инцидентности которого имеет свойство: Обхват графа (длина кратчайшего цикла) является удвоенным диаметром графа (наибольшее расстояние между двумя вершинами, в нашем случае).
Обобщённый 2-угольник — это структура инцидентности, которая не является частично линейным пространством, состоящая по меньшей мере из двух точек и двух прямых, в которой каждая точка инцидентна каждой прямой. Графом инцидентности обобщённого 2-угольника является полный двудольный граф.