Лемма Витали о покрытиях — комбинаторногеометрический результат. Широко используется в теории меры.

Эта лемма используется в доказательстве теоремы Витали о покрытиях, но также представляет самостоятельный интерес. Названа в честь итальянского математика Джузеппе Витали.

Формулировка

Конечная версия Пусть  — конечный набор шаров, содержащихся в d-мерном евклидовом пространстве Rd (или, в более общем случае, в произвольном метрическом пространстве). Тогда существует подмножество из этих шаров, в котором шары попарно не пересекаются, и выполняется

где обозначает шар с тем же центром, что и у , но с утроенным радиусом.

Бесконечная версия Пусть  — произвольный (счётный или несчётный) набор шаров в Rd (или, более общо, в метрическом пространстве), такой что

где обозначает радиус шара Bj. Тогда для любого существует счётное подмножество

попарно непересекающихся шаров, таких что

Замечания В бесконечной версии лемма перестаёт быть верной, если радиусы не ограничены: например, это неверно для бесконечного набора концентрических шаров с целыми положительными радиусами. В самом общем случае, для произвольного метрического пространства, выбор максимальной непересекающейся подколлекции шаров требует некоторой формы леммы Цорна.

Следствия В любом конечном наборе шаров -мерного евклидова пространства с объёмом объединения , можно выбрать поднабор пересекающихся между собой шаров с общим объёмом не менее . Коэффициент не является оптимальным и оптимальное значение не известно.The optimal constant in Vitali covering lemma

Вариации и обобщения Вместо шаров можно брать другие области с довольно слабыми условиями. Лемма Безиковича — аналог леммы Витали. Она применима для произвольных мер, но только для простых метрических пространств включая евклидово пространство в то время как Лемма Витали применима на произвольных метрических пространствах для мер обладающих свойством удвоения. Последнее означает, что для некоторой вещественной константы и произвольного шара имеем

Примечания

Литература .

Категория:Комбинаторная геометрия Категория:Теория меры