Задача о предписанной скалярной кривизне заключается в построении римановой метрики с заданной скалярной кривизной. Эта задача в основном решена в статье Каждана и Уорнера.Kazdan, J., and Warner F. Scalar curvature and conformal deformation of Riemannian structure. Journal of Differential Geometry. 10 (1975). 113—134.
Формулировка
Для данного закрытого, гладкого многообразия и гладкой вещественной функции построить риманову метрику на , для которой скалярная кривизна равна .
Решения Если размерность многообразия три или выше, то любая гладкая функция , принимающая отрицательное значение является скалярной кривизной некоторой римановой метрики.
Предположение о том, что должна быть отрицательна в каких-то точках, необходимо, поскольку не все многообразия допускают метрику со строго положительной скалярной кривизной. Например, таким является трёхмерный тор. Однако верно следующее.
Если допускает одну метрику со строго положительной скалярной кривизной, то любая гладкая функция является скалярной кривизной некоторой римановой метрики на .
См. также Задача Ямабе
Примечания
Категория:Математические задачи Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия