Искривлённое произведение римановых, а также псевдоримановых многообразий — обобщение прямого произведения.
Определение
Пусть и — два псевдоримановых многообразия и гладкая положительная функция. Тогда произведение с метрикой называется искривлённым произведением и по функции . Точнее, касательное пространство можно идентифицировать с произведением касательных пространств и значит на нём можно рассмотреть прямую сумму квадратичных форм , она и определяется как метрический тензор в точке.
Искривлённое произведение обычно обозначается .
Функция также называется функцией искривления. Пространство называется базой, а пространство — слоем искривлённого произведения .
Свойства Каждый слой в изометричен . Каждый уровень глобально изометричен базе . Расстояния между точками полностью определяются по базе , двум точкам , функцией и расстоянием между и в слое .
Примеры Искривлённое произведение изометрично плоскости Лобачевского. Поверхность вращения всегда изометрична искривлённому произведению для некоторой функции искривления и вещественного интервала . Многие решения уравнения Эйнштейна, можно представить как искривлённые произведения, например, Метрика Шварцшильда, Вселенная Фридмана.
Вариации и обобщения Искривлённое произведение естественным образом обобщается на произведения метрических пространств с внутренней метрикой.
Примечания
Ссылки
Категория:Дифференциальная геометрия и топология Категория:Общая теория относительности