Задача Бернштейна — задача о графике функции, являющимся минимальной поверхностью. Названа в честь Сергея Натановича Бернштейна, решившего 2-мерный случай этой задачи в 1914 году.
Задача Бернштейна оказалась тесно связанной с вопросом существования негладких минимальных гиперповерхностей в соответственной размерности.
Формулировка
При каких график функции, определённой на всём , являющийся минимальной поверхностью в , обязан являться плоским?
Ответ: это верно при и неверно при . Соответствующий пример функции можно найти среди функций вида , где
Замечания Задача Бернштейна оказалась напрямую связана с вопросом существования в неплоского конуса, минимизирующего площадь. Конкретным примером такой гиперповерхности является поверхность .
История В 1914 году, Бернштейн доказал, что утверждение задачи верно при .German translation in
Русский перевод в «Успехах математических наук», вып. VIII (1941), 75—81 и в С. Н. Бернштейн, Собрание сочинений. Т. 3. (1960) с. 251—258. (В той же статье была доказана теорема Бернштейна о седловом графике.) В 1962 году Флеминг дал другое доказательство теоремы Бернштейна, выводя его из того, что не существует неплоских конусов, минимизирующих площадь, в . В 1965 году де Джорджи показал, что если в нет минимизирующих площадь неплоских конусов, то для верен аналог теоремы Бернштейна. В частности, отсюда следовал случай . В 1966 году Альмгрен доказал отсутствие минимизирующих площадь неплоских конусов в , и таким образом, обобщил теорему Бернштейна на . В 1968 году Саймонс показал отсутствие минимизирующих площадь неплоских конусов в и, таким образом, обобщил теорему Бернштейна на . Он также привел примеры локально устойчивых конусов в , но не смог доказать, что они минимизируют площадь. В 1969 году Бомбиери, де Джорджи и Джусти доказали, что конусы Саймонса в самом деле минимизирующие, и что в при существуют графики, которые являются минимальными, но не плоскими. В сочетании с результатом Саймонса, это полностью решает задачу Бернштейна.
Примечания
Категория:Дифференциальная геометрия и топология