Дельтаэдр — это многогранник, все грани которого являются правильными треугольниками. Название взято от греческой заглавной буквы дельта (), которая имеет форму равностороннего треугольника. Существует бесконечно много дельтаэдров, но из них только восемь выпуклы, и они имеют 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 и 20 граней.

Число граней, рёбер и вершин перечислены ниже для каждого из восьми дельтаэдров.

Выпуклые дельтаэдры Всего существует 8 выпуклых дельтаэдров, 3 из которых являются платоновыми телами, а 5 — многогранниками Джонсона.

У дельтаэдра с 6 гранями некоторые вершины имеют степень 3, а некоторые — степень 4. В дельтаэдрах с 10, 12, 14 и 16 гранями некоторые вершины имеют степень 4, а некоторые — степень 5. Эти пять неправильных дельтаэдров принадлежат классу правильногранных многогранников — выпуклых многогранников с правильными многоугольниками в качестве граней.

Не существует выпуклого дельтаэдра с 18 гранями. Однако даёт пример октаэдра, который либо может быть сделан выпуклым с 18 неправильными гранями, либо с двумя наборами по три равносторонних треугольника, лежащими в одной плоскости.

Правильные дельтаэдры Название Изображение Количество вершин Количество рёбер Количество граней Конфигурациявершины Группа симметрии Правильный тетраэдр 4 6 4 4 × 33 Td, [3,3] Правильный октаэдр (четырёхугольная бипирамида) 6 12 8 6 × 34 Oh, [4,3] Правильный икосаэдр 12 30 20 12 × 35 Ih, [5,3] Дельтаэдры Джонсона Треугольная бипирамида 5 9 6 2 × 333 × 34 D3h, [3,2] Пятиугольная бипирамида 7 15 10 5 × 342 × 35 D5h, [5,2] Плосконосый двуклиноид 8 18 12 4 × 344 × 35 D2d, [2,2] Трижды наращённая треугольная призма 9 21 14 3 × 346 × 35 D3h, [3,2] Скрученно удлинённая четырёхугольная бипирамида 10 24 16 2 × 348 × 35 D4d, [4,2]

Нестрого выпуклые случаи Существует бесконечно много дельтаэдров с копланарными (лежащими в одной плоскости) треугольниками. Если множества копланарных треугольников считаются одной гранью, можно насчитать меньше граней, рёбер и вершин. Копланарные треугольные грани могут быть слиты в ромбические, трапециевидные, шестиугольные или другие равносторонние многоугольные грани. Каждая грань должна быть выпуклым полиамондом, таким как , , , , , , и , ...

Некоторые небольшие примеры + Копланарные дельтаэдры Рисунок Название Граней Рёбер Вершин Конфигурации вершин Группа симметрииНаращение1 тетр. + 1 окт. 10 15 71 × 333 × 343 × 350 × 36C3v, 4 3 12Наращение 2 тетр. + 1 окт. 12 1882 × 330 × 346 × 350 × 36 C3v, 6 12 Наращение 2 тетр. + 1 окт. 12 1882 × 331 × 344 × 351 × 36 C2v, 2 2 2 117Треугольная усечённая пирамида Наращение 3 тетр. + 1 окт. 14 2193 × 330 × 343 × 353 × 36 C3v, 1 3 1 96 Наращение 2 тетр. + 2 окт. 16 24100 × 334 × 344 × 352 × 36 D2h, [2,2] 4 4 126Тетраэдр Наращение 4 тетр. + 1 окт. 16 24104 × 330 × 340 × 356 × 36 Td, [3,3] 4 64 Наращение 3 тетр. + 2 окт. 18 27111 × 332 × 345 × 353 × 36 D2h, [2,2] 2 1 2 2 149 18 27110 × 332 × 348 × 351 × 36 C2v, 12 2 2210 Наращение 6 тетр. + 2 окт. 20 30120 × 333 × 346 × 353 × 36 D3h, [3,2] 2 6 159Трёхскатный купол Наращение 4 тетр. + 3 окт. 22 3313 0 × 333 × 346 × 354 × 36 C3v, 3 3 1 1 159Треугольная бипирамида Наращение 8 тетр. + 2 окт.24 36142 × 333 × 340 × 359 × 36 D3h, 6 95Шестиугольная антипризма 24 36140 × 330 × 3412 × 352 × 36 D6d, [12,2+] 12 2 2412Усечённый тетраэдр Наращение 6 тетр. + 4 окт. 28 42160 × 330 × 3412 × 354 × 36 Td, [3,3] 4 4 1812Октаэдр Наращение 8 тетр. + 6 окт.32 24180 × 3312 × 340 × 356 × 36 Oh, [4,3] 8 126

Невыпуклые дельтаэдры Невыпуклых и тороидальных дельтаэдров существует бесконечно много.

Пример дельтаэдра с самопересекающимися гранями Большой икосаэдр — тело Кеплера — Пуансо, с 20 пересекающимися треугольниками

Другие невыпуклые дельтаэдры можно получить путём добавления пирамид к граням всех 5 правильных многогранников: Триакистетраэдр Тетракисгексаэдр Триакисоктаэдр(stella octangula) Пентакисдодекаэдр Триакисикосаэдр12 треугольников24 треугольников60 треугольников

Другие наращения тетраэдров: + Примеры: Наращенные тетраэдры8 треугольников10 треугольников12 треугольников

Также путём добавления к граням перевёрнутых пирамид:

Тороидальный дельтаэдр60 треугольников48 треугольников

Примечания

Литература

(Авторы показали, что существует только 8 выпуклых дельтаэдров. )

Категория:Многогранники