Теорема унитарности () — утверждение о свойствах представлений конечных групп. Играет важную роль при применении методов теории групп в физике.
Формулировка Для всякого представления конечной группы , определённого в конечномерном пространстве , можно определить скалярное произведение для любых векторов в этом пространстве таким образом, чтобы все операторы были унитарными, то есть чтобы для всех выполнялось равенство: .
Доказательство Определим в пространстве новое скалярное произведение: . Здесь — число элементов конечной группы . Покажем, что все операторы унитарны относительно этого скалярного произведения: . Имеем: . Когда элемент по одному разу пробегает все элементы группы , то произведение при фиксированном тоже пробегает по одному разу все элементы этой группы. Поэтому суммы и отличаются только порядком слагаемых, и, таким образом, равны друг другу. Тождество доказано, следовательно, доказана теорема унитарности.
Следствия Если — инвариантное относительно представления подпростанство, то ортогональное к нему подпространство тоже инвариантно относительно представления . Если — неприводимое представление конечной группы, то пространство не содержит ни одного нетривиального подпространства, инвариантного относительно представления .
Примечания
Литература
Категория:Теория представлений унитарности