Задача Келети — вопрос комбинаторной геометрии про верхнюю оценку на отношение периметра к площади объединения равных квадратов. Сформулирован Тамасом Келети в 1998 году.T. Keleti, A covering property of some classes of sets in , Acta Univ. Carolin. Math. Phys. 39 (1998), no. 1-2, 111–118. В 2014 году был найден контрпример.
Формулировка Предположим — объединение конечного числа единичных квадратов на плоскости. Верно ли, что
где обозначает периметр, а площадь .
Замечания Если все у всех квадратов совпадают центры, то выполняется равенство.
История Тамас Келети доказал, что отношение ограничено сверху некоторой константой. ГенешZ. Gyenes, The ratio of the perimeter and the area of unions of copies of a fixed set, Discrete Comput. Geom. 45 (2011), no. 3, 400–409.Z. Gyenes, The ratio of the surface-area and volume of finite un ion of copies of a fixed set in , MSc thesis, 2005. доказал, что
Он также доказал,
в трёх случаях: если все квадраты из семейства получаются друг из друга параллельным переносом, если квадраты имею общий центр если число квадратов равно 2. В 2014 году, Виктор Кисс и Золтен Виндянски построили контрпример из 5 квадратов. Они также построили пример с отношением около .
Вариации и обобщения
По теореме Келети, для данного многоугольника K, частное периметра к площади у произвольного объединения многоугольников равных K, ограничено сверху. Аналогичные задачи для правильных многоугольников также имеют контрпримеры. То есть для правильного многоугольника K существует конечный набор равных многоугольников с объединением F такой, что
Примечания
Ссылки Pálvölgyi Dömötör, Is the ratio Perimeter/Area for a finite union of unit squares at most 4?, MathOverflow.
Категория:Комбинаторная геометрия