Тета-функции — это специальные функции от нескольких комплексных переменных. Они играют важную роль во многих областях, включая теории абелевых многообразий, пространства модулей и квадратичных форм. Они применяются также в теории солитонов. После обобщения к алгебре Грассмана функции появляются также в квантовой теории поля.
Наиболее распространённый вид тета-функций — это функции, встречающиеся в теории эллиптических функций. По отношению к одной из комплексных переменных (обычно обозначаемой ) тета-функция имеет свойство, выражающееся в сложении периодов ассоциированных эллиптических функций, что делает их . В абстрактной теории это получается из условия .
Тета-функция Якоби
Имеется несколько связанных функций, которые называются тета-функциями Якоби, и много различных и несовместимых систем их обозначения. Одна тета-функция Якоби (названа именем Карла Густава Якоби), это функция, определённая от 2 комплексных переменных и , где может быть любым комплексным числом, а ограничена верхней половиной плоскости, что означает, что число имеет положительную мнимую часть. Функция задаётся формулой
где и . Функция является формой Якоби. Если фиксировать , функция становится рядом Фурье для периодической целой функции от с периодом 1. В этом случае тета-функция удовлетворяет тождеству
Функция ведёт себя очень регулярно с учётом квазипериода и удовлетворяет функциональному уравнению
где и — целые числа.
Вспомогательные функции
Тета-функция Якоби, определённая выше, иногда рассматривается вместе с тремя дополнительными тета-функциями и в этом случае записывается с дополнительным индексом 0:
Дополнительные (полупериодичные) функции определяются формулами
Этим обозначениям следовали Риман и Мамфорд. Первоначальная формулировка Якоби была в терминах , а не . В обозначениях Якоби -функции записываются в виде:
Приведённые выше определения тета-функции Якоби далеко не единственные. См. статью с дальнейшим обсуждением.
Если мы положим в тета-функциях выше, мы получим четыре функции, зависящие только от и определённые на верхней полуплоскости (которые иногда называются тета-константами.) Они могут быть использованы для определения различных модулярных форм и для параметризации некоторых кривых.
Тождества основные Так называемые функции «тета-нульверт» (Theta-Nullwert) имеют следующее представление суммы и следующее представление произведения:
Тета-функция удовлетворяет следующему основному соотношению с «номеном q»:
Следующие 2 формулы определяют полный эллиптический интеграл 1-го типа и согласуются друг с другом:
Тождества Якоби В частности Тождества Якоби определяется следующей формулой:
Эта формула представляет собой кривой Ферма 4 степени.
Тождества Якоби также возникает как комбинация 3 квадратичных соотношений:
Объединение этих 3 формул даёт следующую формулу:
Тождества Якоби описывают, как тета-функции преобразуются модулярной группой, которая порождается отображениями и . Тождества для первого преобразования найти легко, поскольку добавление единицы в показателе к имеет тот же эффект, что и добавление к ( mod 2). Во 2 случае положим
Тогда
Тета-функции в терминах нома Вместо выражения тета-функций в терминах и мы можем выразить их в терминах аргумента и , где , а . В этом случае функции превращаются в
Мы видим, что тета-функции можно определить в терминах и без прямой ссылки на экспоненциальную функцию. Формулы могут быть использованы, поэтому, для определения тета-функций над другими полями, где экспоненциальная функция может быть не везде определена, такими как поле -адических чисел.
Представления произведений Тройное произведение Якоби (специальный случай ) говорит нам, что для комплексных чисел и с и мы имеем
Это можно доказать элементарными средствами, как, например, в книге Харди и Райта .
Если мы выразим тета-функцию в терминах томов и , то
Мы поэтому получаем формулу произведения для тета-функции вида
В терминах и :
где является -символом Похгаммера, а является . Если раскрыть скобки, тройное произведение Якоби получит вид
что можно также переписать в виде
Эта формула верна для общего случая, но представляет особый интерес при вещественных . Аналогичные формулы произведений для дополнительных тета-функций
Интегральные представления Тета-функции Якоби имеют следующие интегральные представления:
Явные значения
Лемнискатические значения См. статью Джинхи Йи (2004).
В следующей таблице приведены лемнискатические значения функций и :
Дополнительные значения для :
И с греческой буквой показано Золотое сечение. Символом обозначена постоянная Гаусса, которая представляет собой отношение лемнискатической константы к числу . Только что показанные значения были исследованы южнокорейским математиком Джинхи Йи из Пусанского национального университета (부산 대학교). Их результаты впоследствии были опубликованы в Журнале математического анализа и приложений. Кроме того, применяются следующие значения:
Эти 2 значения можно определить непосредственно с помощью формулы суммы Пуассона:
Эквиангармонические значения Функция имеет следующие эквиангармонические значения функции:
Некоторые эквиангармонические значения тета-функции были исследованы, в частности, математиками Брюсом Карлом Берндтом и Орсом Ребаком.
Значения тета над факториалами восьмых Значения функции вида :
Некоторые тождества с рядами
Следующие 2 тождества для рядов были доказаны Иштваном Мезо:
Эти отношения выполняются для всех . Фиксируя значения , мы получим следующие свободные от параметров суммы
Нули тета-функций Якоби Все нули тета-функций Якоби являются простыми нулями и задаются следующим образом: , где , являются произвольными целыми.
Связь с дзета-функцией Римана Соотношение
использовал Риман для доказательства функционального уравнения для дзета-функции Римана посредством преобразования Меллина
и можно показать, что преобразование инвариантно относительно замены на . Соответствующий интеграл для дан в статье о дзета-функции Гурвица.
Связь с эллиптической функцией Вейерштрасса Тета-функции использовал Якоби для построения (в виде, приспособленном для упрощения вычислений) его эллиптических функций как частные вышеприведённых 4 тета-функций, и он мог их использовать также для построения эллиптических функций Вейерштрасса, поскольку
,
где вторая производная берётся по , а константа определена так, что ряд Лорана функции в точке имеет нулевой постоянный член.
Связь с -гамма функцией
Четвёртая тета-функция – а тогда и остальные – неразрывно связана с соотношением.
Связь с эта-функцией Дедекинда Пусть — эта-функция Дедекинда, а аргумент тета-функции представлен как . Тогда
и
См. также статью о модулярных функциях Вебера.
Эллиптический модуль J-инвариант равен , дополнительный эллиптический модуль равен
Решение теплового уравнения Тета-функция Якоби является фундаментальным решением одномерного уравнения теплопроводности с пространственными периодическими граничными условиями. Принимая вещественным, а с вещественным и положительным , мы можем записать
,
что решает уравнение теплопроводности
Это решение в виде тета-функции является 1-периодическим по , и при оно стремится к периодической дельта-функции или гребню Дирака в смысле распределений
.
Общие решения для задачи с пространственными периодическими начальными значениями для уравнения теплопроводности могут быть получены путём свёртки начальных данных в с тета-функцией.
Связь с группой Гейзенберга Тета-функция Якоби является инвариантом при действии дискретной подгруппы группы Гейзенберга. Эта инвариантность представлена в статье о группы Гейзенберга.
Обобщения Если является квадратичной формой от переменных, то тета-функция, связанная с , равна
с суммой по решётке целых чисел . Эта тета-функция является модулярной формой с весом (на надлежащим образом определённой подгруппе) модулярной группы. В разложении в ряд Фурье
числа называются числами представления формы.
Тета-функция Рамануджана
Риманова тета-функция Пусть
является множеством симметричных квадратных матриц, мнимая часть которых положительно определена. называется и является многомерным аналогом верхней полуплоскости. -Мерным аналогом модулярной группы является симплектическая группа . Для . Роль -мерного аналога конгруэнтных подгрупп играет
Тогда, если дано , тета-функция Римана определяется как
Здесь является -мерным комплексным вектором, а верхний индекс T означает транспонирование. Тета-функция Якоби является тогда частным случаем с и , где является верхней полуплоскостью.
Тета-функция Римана сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах .
Функциональное уравнение функции
которое выполняется для всех векторов и для всех }} и .
Ряд Пуанкаре обобщает тета-ряд на автоморфные формы применительно к произвольным фуксовым группам.
Уравнения пятой степени
Решение формы Бринга-Джеррарда Согласно Теореме Абеля-Руффини общее уравнение 5 степени не может быть решено в элементарной радикальной форме. Но общее решение вполне возможно с помощью эллиптических функций. С тета-функцией общий случай Уравнения 5 степени также может быть решен как функция эллиптического «номена q» из эллиптического модуля, который всегда «элементарен» в зависимости от коэффициентов. Для следующего уравнения пятой степени в форме Бринга-Джеррарда общее решение может быть представлено в упрощенной форме тета-функцией ϑ₀₀:
Для всех реальных значений имеет показанную сумму функции пятой степени и идентичную функцию отображения для в зависимости от точно реальное решение. И это фактическое решение может для всех действительных значений может быть вызвано точно по следующему алгоритму: +Método de resolución de las ecuaciones quínticas a través de la función thetaУравнение Бринга – Джеррарда:Значение эллиптической функции «Номен q»:Актуальное решение для :
3 примера расчёта Ниже в качестве примеров рассматриваются 3 уравнения, которые можно решить с помощью тета-функции Якоби, но вообще нельзя решить с помощью элементарных корневых выражений:
Тот же образец процедуры применяется в следующем уравнении:
Это 3 пример:
Примечания
Литература
. (обсуждение тета-функции Римана)
(история -функций Якоби)
Литература для дальнейшего чтения
E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927. (See chapter XXI for the history of Jacobi's θ functions) Jonathan Borwein und Peter Borwein: π and the AGM: A study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Wiley-Interscience, 1987. pages 94–97. Jonathan Borwein, Peter Borwein: Theta Functions and the Arithmetic-Geometric Mean Iteration. Ch. 2 in Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pages 33–61, 1987. Nickos Papadatos: The characteristic function of the discrete Cauchy distribution. Kapodistrias-Universität Athen, 2018, Arxiv. Srinivasa Ramanujan: Modular Equations and Approximations to π. Quart. J. Pure. Appl. Math. Volumen 45, 350–372, 1913–1914. Nikolaos Bagis: On the complete solution of the general quintic using the Rogers-Ramanujan continued fraction. Arxiv 2015. Jinhee Yi: Theta-function identities and the explicit formulas for theta-function and their applications. Journal of Mathematical Analysis and Applications, Band 292, Nr. 2, 2004, pages 381–400. G. P. Young: Solution of Solvable Irreducible Quintic Equations, Without the Aid of a Resolvent Sextic. In: Amer. J. Math. Band 7, pages 170–177, 1885. C. Runge: Über die auflösbaren Gleichungen von der Form. In: Acta Math. Volume 7, pages 173–186, 1885, doi:10.1007/BF02402200. F. Brioschi: Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado: Hermite – Sur la résolution de l’Équation du cinquiéme degré Comptes rendus. N. 11. Mars. 1858. doi:10.1007/bf03197334 (zenodo.org).
Ссылки
Категория:Тета-функции Категория:Эллиптические функции Категория:Римановы поверхности Категория:Многомерный комплексный анализ Категория:Аналитические функции