Фо́рмула пло́щади Га́усса (формула землемера, или формула шнурования, или алгоритм шнурования) — формула определения площади простого многоугольника, вершины которого заданы декартовыми координатами на плоскости. В формуле векторным произведением координат и сложением определяется площадь области, охватывающей многоугольник, а затем из нее вычитается площадь окружающего многоугольника, что дает площадь многоугольника внутри. Также она называется формулой шнурования, так как положительные и отрицательные слагаемые, состоящие из перемножаемых координат, располагаются крест-накрест, как при завязывании шнурков. Она находит применение в геодезии, лесном хозяйстве и других областях.
Формула была описана Мейстером (1724—1788) в 1769 году и Гауссом в 1795 году. Она может быть проверена путём деления многоугольника на треугольники, но её также можно рассматривать как частный случай теоремы Грина.
Формула определения площади определяется путём взятия каждого ребра многоугольника и вычисления площади треугольника с вершиной в начале координат через координаты вершин. При обходе вокруг многоугольника образуются треугольники, включающие внутреннюю часть многоугольника и расположенные снаружи его. Разница между суммой этих площадей и есть площадь самого многоугольника. Поэтому формула называется формулой геодезиста, так как «картограф» находится в начале координат; если он обходит участок против часовой стрелки, площадь добавляется, если она слева, и вычитается, если она справа с точки зрения из начала координат.
Формула площади верна для любого самопересекающегося многоугольника, который может быть выпуклым или вогнутым.
Определение Формула может быть представлена следующим выражением:
где — площадь многоугольника, — количество сторон многоугольника, — координаты вершин многоугольника.
Другое представление этой же формулыShoelace Theorem , Art of Problem Solving Wiki.:
где = , = , = , = .
Если точки пронумерованы последовательно в направлении против часовой стрелки, то детерминанты в формуле выше положительны, и модуль в ней может быть опущен; если они пронумерованы в направлении по часовой стрелке, то детерминанты будут отрицательными. Это происходит потому, что формула может рассматриваться как частный случай теоремы Грина.
Примеры Для применения формулы необходимо знать координаты вершин многоугольника в декартовой плоскости. Для примера возьмём треугольник с координатами {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}. Возьмём первую координату первой вершины и умножим её на координату второй вершины, а затем умножим второй вершины на третьей. Повторим эту процедуру для всех вершин. Результат может быть определён по следующей формуле:
где и обозначают соответствующую координату. Эту формулу можно получить, раскрыв скобки в общей формуле для случая . По этой формуле можно обнаружить, что площадь треугольника равна половине суммы 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, что даёт 3.
Число переменных в формуле зависит от числа сторон многоугольника. Например, в формуле для площади пятиугольника будут использоваться переменные до и :
для четырехугольника — переменные до и :
Более сложный пример Рассмотрим многоугольник, представленный на рисунке и заданный точками (3, 4), (5, 11), (12, 8), (9, 5), (5, 6):
Площадь этого многоугольника:
Объяснение названия Формула называется «формулой шнурков» из-за общего метода, используемого для её вычисления. Этот метод использует матрицу. В качестве примера возьмём треугольник с вершинами (2, 4), (3, −8), (1, 2). Затем построим следующую матрицу, «обходя вокруг» треугольника и заканчивая начальной точкой:
Сначала проведём диагональ вниз и вправо косой чертой, как показано ниже:
и перемножим пары чисел, соединённых чертой, а затем сложим все произведения: (2 × −8) + (3 × 2) + (1 × 4) = −6. Сделаем то же самое, проводя косую черту по диагонали вниз и влево, как показано ниже:
(4 × 3) + (−8 × 1) + (2 × 2) = 8. Затем вычтем сумму второй группы из первой и возьмём модуль: |(−6) − (8)| = 14. Деление результата на два даёт площадь. Организация чисел в матрицу с диагональными линиями упрощает запоминание формулы. В результате проделанной операции с рисованием диагональных (косых) линий матрица с числами напоминает зашнурованную обувь, отсюда и происходит название «алгоритма шнурования».
Хорошее описание «Шнуровки Гаусса» представлено в видео на канале Wild Mathing
См. также Планиметр Теорема Грина
Примечания
Категория:Геометрические алгоритмы Г Категория:Объекты, названные в честь Карла Фридриха Гаусса