Обобщенная формула Гаусса — Бонне — интегральная формула, выражающая эйлерову характеристику замкнутого чётномерного риманова многообразия через его кривизну. Это прямое обобщение формулы Гаусса — Бонне на высшие размерности.
История
Обобщённая формула Гаусса — Бонне была доказана независимо и почти одновременно ВейлемWeyl H. On the volume of tubes. Amer J Math, 61: 461–472 (1939) и АллендорферомAllendoerfer C B. The Euler number of a Riemannian manifold. Amer J Math, 62: 243–248 для замкнутых римановых многообразий, допускающих изометричные вложения в евклидово пространство. (Идея доказательства состояла в подсчёте степени Гауссова отображения гиперповерхности образованной границей малой трубчатой окрестности данного подмногообразия.) На этот момент не было известно все ли многообразия допускают такие вложения — теорема Нэша о регулярных вложениях была доказана только в 1956 году.
В 1945 году, Черн обобщил формулу на случай всех римановых многообразий.
Формулировка
Пусть — компактное ориентируемое 2n-мерное риманово многообразие без края, и — его форма кривизны. Заметим, что форма может рассматриваться как кососимметричная матрица, чьи компоненты являются 2-формами на . В частности, — это матрица над коммутативным кольцом
Поэтому можно посчитать её пфаффиан , который является 2n-формой.
Обобщенная формула Гаусса — Бонне может быть записана как , где обозначает эйлерову характеристику .
Примеры В размерности 2 формула превращается в обычную формулу Гаусса — Бонне В размерности четыре формулу можно переписать следующим удобным способом: , где — это полный тензор кривизны, — тензор Риччи, и — скалярная кривизна.
См. также
Число Понтрягина Класс Понтрягина
Примечания
Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия Категория:Теоремы геометрии Категория:Объекты, названные в честь Карла Фридриха Гаусса