Теорема Титце о продолжении (или Теорема Титце — Урысона) даёт достаточные условия на функцию, заданную на подмножестве пространства и допускающую непрерывное продолжение на всё пространство.
Формулировка Пусть — нормальное пространство и
непрерывная вещественнозначная функция, заданная на замкнутом подмножестве . Тогда существует непрерывная функция , такая, что для всех .
Более того, если ограничена, то функция может быть выбрана также ограниченной той же константой.
История Анри Лебег доказал теорему для ограниченных замкнутых подмножеств плоскости§6 в статье . Генрих Титце обобщил теорему на случай всех метрических пространств. Чуть позже, независимо Лёйтзен Брауэр доказал случай конечномерных вещественных векторных пространств. Павел Урысон доказал теорему, как указано здесь, для нормальных топологических пространств..
Вариации и обобщения Эта теорема эквивалентна функциональной отделимости замкнутых множеств. В частности, существование продолжения как в теореме с любого замкнутого множества пространства эквивалентно нормальности пространства. Если — метрическое пространство, тогда липшицева функция, определённая на произвольном подмножестве , продолжается до липшицевой функции на всё пространство, с той же константой Липшица.
См. также
Теорема Киршбрауна о продолжении
Ссылки
Категория:Теоремы топологии