Формула трубки или формула Вейля — выражение для объёма -окрестности подмногообразия как многочлен от . Предложена Германом Вейлем.
Формулировка Пусть замкнутое -мерное подмногообразие в -мерном евклидовом пространстве, соответственно есть коразмерность .
Обозначим через -окрестность . Тогда для всех достаточно малых положительных значений выполняется равенство
где — объём , — объём единичного шара в -мерном евклидовом пространстве. и
для некоторого однородного многочлена степени ; здесь обозначает тензор кривизны.
Выражение — это так называемая кривизна Липшица — Киллинга, она пропорциональна среднему пфафиану тензора кривизны по всем -мерным подпространствам касательного пространства.
Замечания
Младший ненулевой коэффициент есть -мерный объём . Если размерность чётна, , то
где — эйлерова характеристика .
Следствия Объём -окрестности простой замкнутой гладкой кривой в -мерном евклидовом пространстве при малых выражается формулой
где обозначает длину .
Для гладких замкнутой поверхности в 3-мерном евклидовом пространстве выполняется равенство
Если два подмногообразия евклидова пространства изометричны, то объёмы их -окрестностей совпадают для всех малых положительных .
Вариации и обобщения Формула полутрубки для гиперповерхностей выражает объём односторонней -окрестности , она также является многочленом от , но не все коэффициенты зависят от внутренней кривизны. В частности для поверхностей в трёхмерном пространстве формула полутрубки принимает вид
где обозначает среднюю кривизну.
См. также Обобщённая формула Гаусса — Бонне Смешанный объём Трубчатая окрестность
Литература Грей А. Трубки. Формула Вейля и ее обобщения, Мир, 1993.
Simon Willerton, Intrinsic Volumes and Weyl’s Tube Formula
Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия