Александровская геометрия — своеобразное развитие аксиоматического подхода в современной геометрии. Идея состоит в замене определённого равенства в аксиоматике евклидова пространства на неравенство.
История Первое синтетическое определение ограничений на кривизну снизу и сверху дал Абрахам Вальд в своей студенческой работе написанной под руководством Карла Менгера. Эта работа была забыта вплоть до 1980-х годов.
Похожие определения были переоткрыты Александром Александровым. Он же дал первые значительные приложения этой теории, в частности к задачам вложения и изгибания поверхностей.
Близкое определение метрических пространств неположительной кривизной было дано почти одновременно Гербертом БуземаномBusemann, Herbert Spaces with non-positive curvature. Acta Math. 80, (1948). 259—310..
Исследования Александрова и его учеников велись по двум основным направлениям: Двумерные пространства с кривизной, ограниченной снизу; Пространства произвольной размерности с кривизной, ограниченной сверху. Гиперболичность в смысле Громова является продолжением этой теории для дискретных пространств. Оно имеет значительные приложения в теории групп.
Пространства произвольной размерности с ограниченной снизу кривизной начали изучать только в конце 1990-х годов. Толчком к этим исследованиям послужила Теорема Громова о компактности. Основополагающая работа была написана Юрием Бураго, Михаилом Громовым и Григорием Перельманом.
Основные определения Треугольник сравнения для тройки точек метрического пространства это треугольник на евклидовой плоскости с теми же длинами сторон; то есть
Угол при вершине в треугольнике сравнения называется углом сравнения тройки и обозначается .
В геометрии Александрова рассматриваются полные метрические пространства с внутренней метрикой с одним из двух следующих неравенств на 6 расстояний между 4 произвольными точками.
Первое неравенство. Для произвольных 4 точек рассмотрим пару треугольников сравнения и , тогда для произвольной точки выполняется неравенство
В этом случае говорят, что пространство удовлетворяет -неравенству. Полное пространство, удовлетворяющие -неравенству, называется пространством Адамара. В случае локального выполнения этого неравенства говорят, что пространство имеет неположительную кривизну в смысле Александрова.
Второе неравенство. Для произвольных 4 точек выполняется неравенство
В этом случае говорят, что пространство удовлетворяет -неравенству, или имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова.
Общие ограничения на кривизну Вместо евклидовой плоскости можно взять пространство — модельную плоскость кривизны . То есть есть евклидова плоскость, при есть сфера радиуса , при есть плоскость Лобачевского кривизны . Тогда вышеприведённые определения превращаются в определения CAT(k) и CBB(k) пространств и пространств кривизной и в смысле Александрова. В случае , треугольник сравнения тройки считается определённым, если .
Основные теоремы Лемма Александрова — важное техническое утверждение об углах сравнения Теорема Решетняка о склеивании — позволяет конструировать CAT(k) пространства путем склеивания CAT(k) пространств по выпуклым множествам. Теорема Решетняка о мажоризации — даёт удобное эквивалентное определение CAT(k) пространств. Теорема глобализации для CAT(k) пространств, является обобщением теоремы Адамара — Картана. Теорема глобализации для CBB(k) пространств, является обобщением теоремы сравнения Топоногова.
Примечания
Литература
Лекция 5, Геометрия Александрова
Антон Петрунин, Александровская геометрия видео лекции
Категория:Александровская геометрия Категория:Геометрическая теория групп