Точечная группа в трёхмерном пространстве — группа изометрий в трёхмерном пространстве, не перемещающая начало координат, или группа изометрий сферы. Группа является подгруппой ортогональной группы O(3), группы всех изометрий, оставляющих начало координат неподвижным, или, соответственно, группы ортогональных матриц. O(3) сама является подгруппой E(3) движений 3-мерного пространства.
Группы симметрии объектов являются группами изометрии. Соответственно, анализ групп изометрии является анализом возможных симметрий. Все изометрии ограниченного трёхмерного объекта имеют одну или более фиксированных точек (не меняющих положение при симметрии). Мы выбираем начало координат в качестве одной из таких точек.
Группа симметрий объекта иногда называется полной группой симметрии как противопоставление его группе вращений или собственной группе симметрии, пересечению полной группы симметрии и группы вращений SO(3) трёхмерного пространства. Группа вращений объекта совпадает с его полной группой симметрии тогда и только тогда, когда объект хирален.
Точечные группы в трёхмерном пространстве интенсивно используются в химии, особенно при описании симметрий молекулы и молекулярных орбиталей, образующих ковалентные связи, и в этом контексте эти группы называются .
Конечные группы Коксетера являются специальным множеством точечных групп, образованных набором зеркальных плоскостей, пересекающихся в одной точке. Группа Коксетера ранга n имеет n зеркал и представляется диаграммой Коксетера — Дынкина. предоставляет скобочную запись, эквивалентную диаграмме Коксетера с символами разметки для вращательных и других точечных подгрупп симметрий.
Структура группы SO(3) является подгруппой , которая состоит из прямых изометрий, т.е. изометрий, сохраняющих ориентацию. Она содержит изометрии этой группы, оставляющие начало координат без движения.
O(3) является прямым произведением SO(3) и группы, образованной центральной симметрией: O(3) = SO(3) × { I , −I }
Таким образом, имеется 1-в-1 соответствие между всеми прямыми изометриями и непрямыми изометриями, получаемыми центральной симметрией. Имеется также 1-в-1 соответствие между всеми группами прямых изометрий H в O(3) и всеми группами K изометрий в O(3), содержащих центральную инверсию: K = H × { I , −I } H = K ∩ SO(3) Например, если H является группой C2, то K равно C2h. Если же H является группой C3, то K равно S6. (Смотрите ниже определение этих групп.)
Если группа прямых изометрий H имеет подгруппу L с индексом 2, то, кроме группы, содержащей центральную симметрию, есть ещё соответствующая группа, содержащая непрямые изометрии, но не содержащие центральной симметрии: M = L ∪ ( (H \ L) × { − I } ), где изометрия ( A, I ) отождествляется с A. Примером может быть C4 для H и S4 для M.
Таким образом, M получается из H с помощью центральной симметрии изометрий из H \ L. Эта группа M является абстрактной группой, изоморфной H. Обратно, для всех групп изометрии, содержащих непрямые изометрии, но не содержащие центральной симметрии, мы можем получить группу вращений путём применения центральной симметрии к непрямым изометриям.
В двумерном пространстве циклическая группа вращений порядка k Ck (вращений на угол 180°/ k) для любых положительных целых k является подгруппой O(2,R) и SO(2,R). Соответственно, в трёхмерном пространстве для любой оси циклическая группа вращений порядка k вокруг оси является нормальной подгруппой всех вращений вокруг оси. Поскольку любая подгруппа с индексом два нормальна, группа вращений (Cn) является нормальной как в группе, полученной добавлением зеркальных симметрий относительно плоскостей, содержащих оси (Cnv), так и в группе, полученной добавлением зеркальных симметрий относительно плоскостей, перпендикулярных осям (Cnh).
Трёхмерные изометрии, оставляющие начало координат неподвижным Изометрии пространства R3, оставляющие начало координат неподвижным и образующие группу O(3,R), можно распределить на группы следующим образом: SO(3,R): тождественное движение вращение вокруг оси, проходящей через начало координат, на угол, не равный 180° вращение вокруг оси, проходящей через начало координат, на угол, равный 180° то же самое с центральной симметрией (x переводится в −x), т.е. соответственно: центральная симметрия вращение вокруг оси, проходящей через начало координат, на угол, не равный 180°, с последующим отражением относительно плоскости, перпендикулярной оси и проходящей через начало координат отражение относительно плоскости, проходящей через начало координат
4-я и 5-я изометрии, в частности, а в более широком смысле и 6-я, называются .
Сопряжённость Если сравниваются симметрии двух объектов, то начало координат для каждого объекта выбирается отдельно, т.е. они не обязательно будут имеет один и тот же центр. Более того, считается, что объекты имеют тот же тип симметрии, если их группы симметрии являются сопряжёнными группами группы O(3) (две подгруппы H1 и H2 группы G сопряжены, если существует g ∈ G, такой, что H1 = g−1H2g ).
Например, два трёхмерных объекта имеют тот же тип симметрии, если оба имеют зеркальную симметрию, но относительно разных плоскостей оба имеют вращательную симметрию порядка 3, но относительно разных осей. В случаем нескольких плоскостей симметрии и/или осей вращения две группы симметрии имеют тот же тип тогда, и только тогда, когда имеется вращение, отображающее полную структуру первой группы симметрии во вторую. (Фактически, может быть более чем одно вращение, но не бесконечное число). Определение сопряжения позволяет также зеркальное отражение структуры, но необходимости в этом нет, поскольку структура сама по себе ахиральна. Например, если группа симметрии содержит ось порядка 3, она содержит вращения в двух противоположных направлениях (структура хиральна для 11 пар кристаллографических групп с винтовой осью).
Бесконечные группы изометрии Существует множество бесконечных групп изометрии, например, "циклическая группа" (предполагается группа, образованная одним элементом – не путать с группой с кручением), образованная вращением на иррациональный угол вокруг оси. Мы можем создать нецикличные абелевы группы путём добавления дополнительных кручений вокруг той же оси. Существуют также неабелевы группы, образованные вращениями вокруг различных осей. Они обычно (в общем случае) являются свободными группами. Они будут бесконечными, если не выбрать вращение определённым образом.
Все упомянутые до этого момента бесконечные группы не являются замкнутыми как топологические подгруппы группы O(3).
Полная группа O(3) является группой сферической симметрии. SO(3) является соответствующей группой вращений. Другие бесконечные группы изометрии состоят из всех вращений вокруг оси, проходящей через начало координат, и из такого же вращения с дополнительной зеркальной симметрией относительно плоскостей, проходящих через эту ось и/или зеркальной симметрией относительно плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной оси. Эти группы с зеркалами, проходящими через ось, с или без зеркала, проходящего через начало координат и перпендикулярного оси, являются группами симметрии для двух типов . Отметим, что любой физический объект, имеющий бесконечные вращательные симметрии, будет также иметь зеркальные симметрии относительно плоскостей, проходящих через ось.
Конечные группы изометрии Симметрии в 3-мерном пространстве, оставляющие на месте начало координат, полностью определяются симметриями на сфере с центром в начале координат. Для конечных трёхмерных точечных групп см. также Группы сферической симметрии.
С точностью до сопряжённости множество конечных трёхмерных точечных групп состоит из: 7 бесконечных серий с максимум одной осью порядка, большего 2. Это конечные группы симметрии на бесконечных цилиндрах, или, что эквивалентно, на конечных цилиндрах. Эти группы иногда называются призматическими точечными группами. 7 точечных групп с несколькими осями порядка 3 и более. Это конечные точечные группы с несколькими осями порядка 3, поскольку все 7 включают такие оси. Возможные комбинации осей: 4 оси порядка 3 4 оси порядка 3 и 3 порядка 4 10 осей порядка 3 и 6 порядка 5 Набор точечных групп сходен с дискретной группой переноса — 27 из 7 бесконечных серий и 5 из 7 оставшихся, всего 32 так называемых кристаллических точечных групп. См. также .
Семь бесконечных серий групп осевой симметрии
Бесконечные серии призматических групп имеют индекс n, который может быть любым натуральным числом. В каждой серии n-я группа симметрии содержит вращение порядка n вокруг оси, т.е. вращение на угол 360°/n. Случай n=1 соответствует отсутствию движения. Существует четыре серии без дополнительных осей вращательной симметрии (см. ) и три с дополнительными осями симметрии порядка 2 (см. диэдральная симметрия). Их можно понимать как , расширенные координатными осями и отражениями в них. Они связаны с группами бордюра и могут рассматриваться как бордюрные группы, повторяющиеся n раз вокруг цилиндра.
В следующей таблице даны некоторые виды обозначений для точечных групп: символика Германа — Могена (используется в кристаллографии), символы Шёнфлиса (используется для описания молекулярной симметрии), и . Последние три не только удобны для понимания свойств точечных групп, но также определяют порядок группы. Это унифицированные записи, применимые к группам обоев и группам бордюров. Для кристаллографических групп n ограничен значениями 1, 2, 3, 4 и 6. Если удалить кристаллографические ограничения, получим группы для любого натурального числа.
Серии: Германа — Могена Шёнфлиса Бордюр Структура() Пример Комментарии Чётное n Нечётное n (цилиндр) n Cn nn [n]+ p1 n Zn(n) вращательная симметрия порядка n S2n n× [2n+,2+] p11gZ2n(2n) порядка n. Не путать с симметрическими группами n/m Cnh n* [n+,2] p11mZn×Dih1(2n) nmm nm Cnv *nn [n] p1m1Dihn(2n) Пирамидальная симметрия; в биологии — бирадиальная симметрия n22 n2 Dn 22n [n,2]+ p211 2n Dihn Диэдральная симметрия 2m m Dnd, Dnv[2n,2+] p2mg 4n Dih2n(2n) Антипризматическая симметрия n/mmm 2m Dnh *22n [n,2] p2mm Dihn×Dih1 (4n) Призматическая симметрия
Для нечётных n мы имеем Z2n = Zn × Z2 и Dih2n = Dihn × Z2.
Понятие горизонтальная (h) и вертикальная (v), а также соответствующие (нижние) индексы, относятся к дополнительным зеркальным плоскостям, которые могут быть параллельны оси вращения (вертикальны) или перпендикулярны оси вращения (горизонтальны).
Простейшие нетривиальные группы имеют инволюционную симметрию (абстрактная группа Z2): Ci – центральная симметрия C2 – вращательная симметрия порядка 2 Cs – зеркальная симметрия, также называемая билатеральной симметрией.
Вторая из этих групп является первой из групп с одной осью (циклических групп) Cn порядка n (применимых также и в двумерном пространстве), которые порождаются одним вращением на угол 360°/n. В дополнение можно добавить зеркальную плоскость, перпендикулярную оси, что даёт группу Cnh порядка 2n, или множество n зеркал, содержащих ось, что даёт группу Cnv, также порядка 2n. Последняя является группой симметрии правильной пирамиды с n сторонами. Типичный объект с группой симметрии Cn или Dn — пропеллер.
Если добавлены и вертикальные плоскости отражения, и горизонтальные плоскости, их пересечения дают n осей вращения на 180°, так что группа больше не одноосная. Эта новая группа порядка 4n называется Dnh. Её подгруппы вращений — диэдрическая группа Dn порядка 2n, которая, всё же, имеет оси вращения порядка 2, перпендикулярные основной оси вращения, но не имеет плоскостей зеркального отражения. Заметим, что в 2D Dn включает отражения, которые можно видеть как перекидывание через плоские объекты без различения лицевой и обратной сторон, но в 3D две операции различаются — группа содержит «перекидывание через», но не отражения.