Задача о пушечных ядрах () — задача о нахождении числа пушечных ядер, которые можно уложить и в один слой в форме квадрата, и в форме пирамиды с квадратом в основании, то есть о нахождении квадратных чисел, также являющихся квадратными пирамидальными числами. Нахождение этого числа сводится к решению диофантова уравнения или . Уравнение имеет два решения: и , то есть одно пушечное ядро, и и , то есть 4900 пушечных ядер.

История задачи Вопросы укладки пушечных ядер интересовали уже сэра Уолтера Рэли и его современника Томаса Хэрриота, однако в приведённой выше форме она была сформулирована в 1875 году Эдуаром Люка, предположившим, что кроме и других решений не существует. Частичные доказательства были предложены Море-Бланом (1876) и самим Люка (1877). Первое полное доказательство было предложено Уотсоном (1918); доказательство использовало эллиптические функции. Ещё одно доказательство было предложено (1952) с использованием уравнения Пелля. Доказательства с использованием только элементарных функций были предложены Ма (1985) и Энглином (1990).

Доказательства

Доказательство Уотсона Доказательство Уотсона основано на наблюдении, что из трёх чисел , и одно должно делиться на 3; и либо , либо должно быть чётным; и что все остальные множители должны быть квадратами. Тем самым возможны шесть вариантов:

Однако, поскольку при делении на 3 может иметь только остатки 0 или 2, первый вариант приводит к противоречию. Аналогичным образом можно исключить второй, третий и четвёртый варианты.

Пятый вариант приводит к решению . Действительно, возможно только при нечётном , и , то есть, существуют целые числа и , такие что или . Однако, приводит к противоречию . Следовательно, , то есть, и . Как показано Жероно, и являются единственными решениями последней системы уравнений. Случай невозможен, так как ; случай приводит к . Альтернативное доказательство единственности решения в этом случае использует то, что единственными решениями являются и приведено в главе 6.8.2 книги Коэна.

Доказательство отсутствия нетривиальных решений в шестом варианте требует применения эллиптических функций. Действительно, шестой вариант можно привести к виду . Вместо этих уравнений Уотсон рассматривает более общий случай и показывает, что решения этих уравнений должны удовлетворять , где  — неотрицательное целое число, задана , , , а , , и  — эллиптические функции Якоби. Далее Уотсон доказывает, что численно равно единице, только если , то есть , и единственное возможное в этом случае решение .

Доказательство Ма Доказательство единственности приведённых выше решений, предложенное Ма, основывается на последовательном доказательстве следующих утверждений:

Единственным чётным решением задачи об укладке ядер является . Действительно, чётность позволяет исключить варианты 1, 4 и 6 из доказательства Уотсона, варианты 2 и 3 приводят к противоречию (см. доказательство Уотсона), а  — единственное решение возможное для варианта 5. Пусть . Тогда для неотрицательных , имеет вид только для . Единственным нечётным , удовлетворяющим задаче об укладке ядер, является . Действительно, рассуждая аналогично доказательству Уотсона, нечётное должно удовлетворять варианту 6, то есть, . Поскольку для любого , и , это также справедливо для . Подставляя и вместо и , получим , то есть, . Поскольку порождает группу единиц , существует такое, что , где определено выше, а . Поскольку положительно, и, по определению , . По предыдущей лемме, , то есть и .

Подробности доказательства приведены в главе 6.8.2 книги Коэна.

Обобщения задачи За исключением тривиального случая не существует числа пушечных ядер, которые бы можно было уложить в виде пирамиды с квадратом в основании, и которое бы при этом одновременно являлось кубом, четвёртой или пятой степенью натурального числа. Более того, это же справедливо для укладки ядер в виде правильного тетраэдра.

Другим обобщением задачи является вопрос о нахождении числа ядер, которые можно уложить в форме квадрата и усечённой пирамиды с квадратом в основании. То есть ищут последовательных квадратов (не обязательно начиная с 1), сумма которых является квадратом. Известно, что множество таких бесконечно, имеет асимптотическую плотность ноль и для , не являющихся квадратами, существует бесконечно много решений. Число элементов множества , не превышающих , оценивается как . Первые элементы множества и соответствующие наименьшие значения , такие что является квадратом, приведены в следующей таблице: {| class="wikitable" style="text-align: right" |- ! n | 2 || 11 || 23 || 24 || 26 || 33 || 47 || 49 || 50 || 59 |- ! a | 3 || 18 || 7 || 1 || 25 || 7 || 539 || 25 || 7 || 22 |} Для и решением является пифагорова тройка . Для и решением является приведённое выше решение задачи об укладке пушечных ядер. Последовательность элементов множества  — .

Ещё одно обобщение задачи было рассмотрено Канэко и Татибаной: вместо вопроса о равенстве суммы первых квадратных чисел и другого квадратного числа, они рассмотрели вопрос о равенстве суммы первых многоугольных чисел и другого многоугольного числа и показали, что для любого существует бесконечно много последовательностей первых -угольных чисел, таких что их сумма равна другому многоугольному числу, и что для любого существует бесконечное число -угольных чисел, представимых в виде суммы последовательностей первых многоугольных чисел. Более того, Канэко и Татибана установили, что для любого натурального выполняются следующие отношения:

где  — -ое -угольное число, а  — -ое -угольное пирамидальное число, то есть, сумма первых -угольных чисел.

Связь с другими областями математики Нетривиальное решение приводит к построению решётки Лича (которая, в свою очередь, связана с различными областями математики и теоретической физики — теория бозонных струн, монстр). Это делается с помощью чётной унимодулярной решётки в 25+1-мерном псевдоевклидовом пространстве. Рассмотрим вектор этой решётки . Поскольку и  — решение задачи об укладке пушечных ядер, этот вектор — светоподобный, , откуда, в частности, следует, что он принадлежит собственному ортогональному дополнению . Согласно Конвею, вектор позволяет построить решётку Лича как фактормножество , которое корректно определено благодаря светоподобности ; как множество всех векторов таких, что . Такие векторы составляют множество так называемых фундаментальных корней решётки . Во всех случаях, когда можно таким способом построить множество фундаментальных корней чётной унимодулярной решётки в псевдоевклидовом пространстве , всегда можно использовать целочисленный вектор с идущими подряд от ноля пространственными компонентами; а чтобы это множество образовывало решётку, этот вектор должен быть светоподобным. И поскольку  — единственное нетривиальное решение задачи об укладке пушечных ядер, то 24-мерная решётка Лича — единственная решётка, которую можно таким способом получить из .

См. также Плотная упаковка равных сфер

Примечания

Категория:Фигурные числа Категория:Диофантовы уравнения Категория:Эллиптические функции