Пусть имеется структура инцидентности , состоящая из точек , прямых и флагов . Говорят, что точка инцидентна прямой , если . Структура называется конечной частичной геометрией, если существуют целые числа , такие, что:
Для любой пары различных точек и существует максимум одна прямая, инцидентная обеим точкам. Каждая прямая инцидентна точкам. Каждая точка инцидентна прямым. Если точка и прямая не инцидентны, существует в точности пар , таких, что инцидентна , а инцидентна .
Частичная геометрия с этими параметрами обозначается .
Свойства Число точек задаётся формулой , а число прямых — формулой . Точечный граф структуры является сильно регулярным графом: . Частичные геометрии двойственны — двойственной структурой для является просто структура .
Частные случаи Обобщённые четырёхугольники — это в точности частичные геометрии с . Системы Штейнера — это в точности частичные геометрии с .
Обобщения порядка называется получастичной геометрией, если существуют целые числа , такие, что:
Если точка и прямая не инцидентны, существует либо , либо в точности пар , таких, что инцидентна и инцидентна . Любая пара неколлинеарных точек имеет в точности общих соседей.
Получастичная геометрия является частичной геометрией тогда и только тогда, когда .
Легко показать, что граф коллинеарностиЕсли дана частичная геометрия P, в которой любые две точки определяют максимум одну прямую, графом коллинеарности или точечным графом геометрии P называется граф, вершинами которого являются точки P, а две вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда они определяют прямую в P. такой геометрии строго регулярен с параметрами .
Хороший пример такой геометрии получается, если взять аффинные точки и только те прямые, которые пересекают плоскость на бесконечности в точке фиксированной подплоскости Бэра. Геометрия имеет параметры .
Примечания
Литература
Категория:Геометрия инцидентности