Инъективный объект — теоретико-категорное обобщение понятия инъективного модуля. Двойственное понятие — проективный объект.
Определение Объект категории называется инъективным, если для любого морфизма и любого мономорфизма существует морфизм продолжающий , то есть .
Абелев случай Исходное определение инъективного объекта было дано для абелева случая (и он остаётся наиболее важным). Если — абелева категория, то её объект называется инъективным тогда и только тогда, когда функтор Hom точен.
Достаточно много инъективных объектов Говорят, что в категории достаточно много инъективных объектов, если для любого объекта категории существует мономорфизм в инъективный объект .
Инъективная оболочка Мономорфизм категории называется существенным, если для любого морфизма композиция является мономорфизмом, только если является мономорфизмом.
Если — существенный мономорфизм и объект инъективен, то называется инъективной оболочкой . Инъективная оболочка единственна с точностью до неканонического изоморфизма.
Обобщение
Пусть является категорией — Класс морфизмов у .
Объект категории называется -иньективним если для любого морфизма и каждого морфизма из класса существует морфизм для которого .
Если является классом мономорфизм то получается определение иньективних модулей.
Категория имеет довольно много -иньективних объектов если для каждого объекта X категории , существует -морфизм с X в -иньективний объект.
Примеры
В категории абелевых групп инъективные объекты — это делимые группы.
В категории модулей инъективные объекты — это инъективные модули. В существуют инъективные оболочки, и, как следствие, достаточно много инъективных объектов.
В категории метрических пространств и коротких отображений инъективные объекты по отношению к экстремальным мономорфизмам — это инъективные метрические пространства.
Рассматривают также инъективные объекты в более общих категориях, например в категориях функторов или в категориях пучков модулей.
-морфизм g в называется -существенным если для любого морфизма f, композиция fg принадлежит классу только если f принадлежит классу .
Если g есть -существенным морфизм с X в -иньективний объект G, то G называется H-иньективною оболочкой объекта X.
Литература Jiri Rosicky. Injectivity and accessible categories.
Категория:Теория категорий