Нотация Конвея для многогранников, разработанная Конвеем и продвигаемая , используется для описания многогранников, опираясь на затравочный (т.е. используемый для создания других) многогранник, модифицируемый различными префикс-операциями.
Конвей и Харт расширили идею использования операторов, подобных оператору truncation (усечения), определённого Кеплером, чтобы создавать связанные многогранники с той же симметрией. Базовые операторы могут сгенерировать все архимедовы тела и каталановы тела из правильных затравок. Например, tC представляет усечённый куб, а taC, полученный как t(aC), является усечённым октаэдром. Простейший оператор dual (двойственный) меняет местами вершины и грани. Так, двойственным многогранником для куба является октаэдр — dC=O. Применённые последовательно, эти операторы позволяют сгенерировать многие многогранники высокого порядка. Получающиеся многогранники будут иметь фиксированную топологию (вершины, рёбра, грани), в то время как точная геометрия не ограничивается.
Затравочные многогранники, являющиеся правильными многогранниками, представляются первой буквой в их (английском) названии (Tetrahedron = тетраэдр, Octahedron = октаэдр, Cube = куб, Icosahedron = икосаэдр, Dodecahedron = додекаэдр). Кроме того, используются призмы (Pn – от prism для n-угольных призм), антипризмы (An – от Antiprisms), купола (Un – от cupolae), антикупола (Vn) и пирамиды (Yn – от pyramid). Любой многогранник может выступать в качестве затравки, если операции могут на них быть выполнены. Например, правильногранные многогранники можно обозначить как Jn (от Johnson solids = тела Джонсона) для n=1...92.
В общем случае трудно предсказать результат последовательного применения двух и более операций на заданный многогранник-затравку. Например, операция ambo, применённая дважды, оказывается той же самой, что и операция expand (расширения), aa=e, в то время как операция truncation (усечение) после операции ambo даёт то же, что и операция bevel, ta=b. Не существует общей теории, описывающей, какие многогранники могут быть получены с помощью некоторого набора операторов. Наоборот, все результаты были получены эмпирически.
Операции на многогранниках Элементы таблицы даны для затравки с параметрами (v,e,f) (вершин, рёбер, граней), преобразуемой в новые виды в предположении, что затравка является выпуклым многогранником (топологической сферой с эйлеровой характеристикой 2). Пример, базирующийся на затравке в виде куба, дан для каждого оператора. Базовые операции достаточны для генерации зеркально симметричных однородных многогранников и их двойственных. Некоторые базовые операции можно выразить через композицию других операций.
Специальные виды Операция «kis» имеет вариант kn, в этом случае добавляются только пирамиды к граням с n-сторонами. Операция усечения имеет вариант tn, в этом случае усекаются только вершины порядка n.
Операторы применяются подобно функциям справа налево. Например, кубооктаэдр является ambo кубом (кубом, к которому применена операция ambo), то есть t(C) = aC, а усечённый кубооктаэдр равен t(a(C)) = t(aC) = taC.
Оператор хиральности r – «отражение» («reflect») – делает зеркальное отражение затравки. Оператор не меняет затравку, если к ней не были применены операторы s или g. Другой записью хиральной формы служит надчёркивание, например, = rs.
Операции в таблице показаны на примере куба и нарисованы на поверхности куба. Синие грани пересекают исходные рёбра, розовые грани соответствуют исходным вершинам. + Базовые операцииОператорПримерНазваниеАльтернативноепостроениевершинырёбраграниОписание Затравка vef Исходный многогранникrreflectvef Зеркальный образ для хиральных форм d dual fevДвойственный многогранник для затравки – каждая вершина создаёт новую граньaambo djdjde2ef+vНовые вершины добавляются в середине рёбер, а старые вершины отрезаются (rectify)Операция создаёт вершины с валентностью 4.jjoindadadv+f2eeК затравке добавляются пирамиды с достаточной высотой, так что два треугольника, принадлежащие разным пирамидам и имеющие общую сторону затравки, становятся копланарными (лежащими на одной плоскости) и образуют новую грань.Операция создаёт квадратные грани.kknkis nd = dzdtd v+f3e2eНа каждой грани добавляется пирамида.Акизация или кумуляция, увеличение или пирамидальное расширение.ttntruncatend = dzdkd2e3ev+fОтсекает все вершины.Операция является сопряжённой с kis n needle kd = dtdzd v+f3e2eДвойственный многогранник к усечённой затравке. Грани триангулируются с двумя треугольниками для каждого ребра. Это делит пополам грани через все вершины и рёбра, удаляя при этом исходные рёбра.Операция преобразует (a,b) в (a+2b,a-b) для a>b.Она также преобразует (a,0) в (a,a), (a,a) в (3a,0), (2,1) в (4,1), и т.д.z zip dk = tddnd2e3ev+fДвойственный многогранник к затравке после операции kis или усечение двойственного многогранника. Операция создаёт новые рёбра, перпендикулярные исходным рёбрам. Операция также называется bitruncation ().Эта операция преобразует G(a,b) в G(a+2b,a-b) для a>b.Она также преобразует G(a,0) в G(a,a), G(a,a) в G(3a,0), G(2,1) в G(4,1) и т.д.eexpand(растяжение)aadod = do 2e4ev+e+fКаждая вершина создаёт новую грань, а каждое ребро создаёт новый четырёхугольник. (cantellate = скашивание)oortho daa ded = dev+e+f4e2eКаждая n-угольная грань делится на n четырёхугольников.grg=gyrodsd = dsv+2e+f5e2eКаждая n-угольная грань делится на n пятиугольников.srs=snubdgd = dg2e5ev+2e+f «расширение и кручение» – каждая вершина образует новую грань, а каждое ребро образует два новых треугольникаbbeveldkda = tadmd = dm4e6ev+e+fНовые грани добавляются вместо рёбер и вершин. (cantitruncation = ) mmetamedialkda = kjdbd = dbv+e+f6e4e Триангуляция с добавлением вершин в центрах граней и рёбер.
Образование правильных затравок Все пять правильных многогранников могут быть получены из призматических генераторов, используя от нуля до двух операторов: Треугольная пирамида: Y3 (Тетраэдр является частным случаем пирамид) T = Y3 O = aT (тетраэдр после операции ambo) C = jT (тетраэдр после операции join) I = sT (плосконосый тетраэдр, тетраэдр после операции snub) D = gT (тетраэдр после операции gyro) Треугольная антипризма: A3 (Октаэдр является частным случаем антипризм) O = A3 C = dA3 Квадратная призма: P4 (Куб является частным случаем призмы) C = P4 Пятиугольная антипризма: A5 I = k5A5 (Частный случай ) D = t5dA5 (Частный случай )
Правильная евклидова мозаика может также быть использована в качестве затравки: Q = Quadrille (четырёхугольная мозаика) = квадратная мозаика H = Hextille = шестиугольная мозаика = dΔ Δ = Deltille = треугольная мозаика = dH
Примеры Куб может образовать все выпуклые однородные многогранники с октаэдральной симметрией. В первой строке показаны архимедовы тела, а во второй — каталановы тела. Вторая строка образуется как двойственные многогранники к многогранникам первой строки. Если сравнивать каждый новый многогранник с кубом, можно понять визуально проведённые операции.
Куб«затравка»ambotruncatezipexpandbevelsnubCdOaCaOtCzOzC = dkCtOaaC = eCeObC = taCtaOsCsOdualjoinneedlekisorthomedialgyrodCOjCjOdtC = kdCkOkCdtOoCoOdtaC = mCmOgCgO
Усечённый икосаэдр, tI или zD, являющийся G(2,0), создаёт дополнительные многогранники, которые ни вершинно-, ни гранетранзитивны. + Усечённый икосаэдр в качестве затравки «затравка»ambotruncatezipextensionbevelsnubzDtI azIatI tzDttI tdzDtdtI aazD = ezDaatI = etI bzDbtI szDstI dualjoinneedlekisorthomedialgyrodzDdtI jzDjtI kdzDkdtI kzDktI ozDotI mzDmtI gzDgtI
Геометрические координаты производных форм В общем случае затравка может считаться замощением поверхности. Поскольку операторы представляют топологические операции, то точные положения вершин производных форм в общем случае не определены. Выпуклые правильные многогранники в качестве затравки могут рассматриваться как замощения сферы, а потому производные многогранники можно рассматривать как расположенные на сфере. Подобно правильным мозаикам на плоскости, таким как шестиугольный паркет, эти многогранники на сфере могут выступать в качестве затравки для производных мозаик. Невыпуклые многогранники могут стать затравками, если связанные топологические поверхности определяются для ограничения положения вершин. Например, тороидальные многогранники могут произвести другие многогранники с точками на той же торической поверхности.
+Пример: Затравка в виде додекаэдра как сферическая мозаикаDtDaDzD = dkDeDbD = taDsDdDnD = dtDjD = daDkD = dtdDoD = deDmD = dtaDgD
+Пример: Затравка в виде евклидовой шестиугольной мозаики (H)HtHaHtdH = HbH = taHsHdHnH = dtHjH = daHdtdH = kH = deHmH = dtaHgH = dsH
Производные операции Смешение двух и более базовых операций приводит к широкому разнообразию форм. Имеется много других производных операций. Например, смешение двух ambo, kis или expand операций вместе с операциями dual. Использование альтернативных операторов наподобие join, truncate, ortho, bevel и medial может упростить имена и удалить операторы dual. Общее число рёбер производных операций можно вычислить через мультипликаторы каждого отдельного оператора.
{| class=wikitable ! Оператор(ы) || d || aj || k, tn, z || eo || gs || a&k || a&e || k&k || k&ek&a2||e&e|- ! рёберный мультипликатор || 1 || 2 || 3 || 4 ||5 || 6 || 8 || 9 ||12||16 |- ! Уникальных производных операторов |colspan=5| ||8 || 2 || 8|| 10|| 2
Операции в таблице показаны для куба (в качестве примера затравки) и нарисованы на поверхности куба. Голубые грани пересекают исходные рёбра, а розовые грани соответствуют исходным вершинам. + Производные операцииОператорПримерНазваниеАльтернативноепостроениевершинырёбраграниОписание Затравка vef Исходный многогранник at akd 3e 6e v+2e+f Операция ambo после truncate jk dak v+2e+f 6e 3e Операция join после kis. Подобна ortho, за исключением того, что новые квадратные грани вставляются на место исходных рёбер ak dajd 3e 6e v+2e+f Операция ambo после kis. Подобна expand, за исключением того, что новые вершины добавляются на исходные рёбра, образуя два треугольника. jt dakd = dat v+2e+f 6e 3e Операция join после truncate. Двойственный многогранник к полученному после операций truncate, затем ambo tj dka 4e 6e v+e+f truncate join ka v+e+f 6e 4e kis ambo ea or ae aaa 4e 8e v+3e+f расширенная операция ambo, тройная операция ambo oa or je daaa = jjj v+3e+f 8e 4e Операция ortho после ambo, тройная операция join x=kt exalt kdkddtkd v+e+f 9e 7e Операции kis truncate, триангуляция, деление рёбер на 3 части и добавление новых вершин в центр исходных граней.Операция преобразует (a,b) в (3a,3b). y=tk yank dkdk dktd v+e+f 9e 7e Операции truncate kis, расширение шестиугольниками вокруг каждого ребра Операция преобразует G(a,b) в G(3a,3b). nk kdk = dtk = ktd 7e 9e v+e+f needled kis tn dkdkd = dkt = tkd 7e 9e v+e+f truncate needle tt dkkd 7e 9e v+e+f двойная операция truncate kk dttd v+2e+f 9e 6e двойная операция kis nt kkd = dtt v+e+f 9e 7e needle truncate tz dkk = ttd 6e 9e v+2e+f truncate zip ke kaa v+3e+f12e8e Kis expand to dkaa 8e12ev+3e+f truncate ortho ek aak 6e12ev+5e+f expand kis ok daak = dek v+5e+f12e6e ortho kis et aadkd 6e12ev+5e+f расширенная операция truncate ot daadkd = det v+5e+f12e6e ortho truncate te or ba dkdaa 8e12ev+3e+f truncate expand ko or ma kdaa = dtema = mj v+3e+f12e8e kis ortho ab or am aka = ata 6e 12e v+5e+f ambo bevel jb or jm daka = data v+5e+f 12e 6e joined bevel ee aaaa v+7e+f16e8e double-expand oo daaaa = dee 8e16ev+7e+f double-ortho
Хиральные производные операции
Имеются другие производные операции, если используется gyro с операциями ambo, kis или expand и до трёх операций dual.
Оператор(ы) d a k e g a&gk&ge&gg&g мультипликатор рёбер 1 2 3 4 5 10152025Уникальных производных операторов 4 8 4 2