Уравне́ние Чандрасека́ра в астрофизике — безразмерная форма уравнения Пуассона для распределения плотности сферически-симметричной изотермической газовой сферы под действием собственной силы гравитации, названная по имени американского астрофизика Субраманьяна Чандрасекара.Chandrasekhar, Subrahmanyan, and Subrahmanyan Chandrasekhar. An introduction to the study of stellar structure. Vol. 2. Courier Corporation, 1958.Chandrasekhar, S., and Gordon W. Wares. «The Isothermal Function.» The Astrophysical Journal 109 (1949): 551—554.http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?1949ApJ...109..551C&defaultprint=YES&filetype=.pdf УравнениеKippenhahn, Rudolf, Alfred Weigert, and Achim Weiss. Stellar structure and evolution. Vol. 282. Berlin: Springer-Verlag, 1990. имеет вид
где является безразмерным радиусом, связано с плотностью газовой сферы соотношением , где представляет плотность газа в центре. Уравнение не имеет известного явного решения. Если вместо изотермического вещества взять политропное, записанное уравнение будет представлять собой уравнение Лейна — Эмдена. Обычно изотермическое приближение применяется при описании ядра звезды. В таком случае уравнение решают с начальными условиями
Уравнение также возникает и в других областях физики, например, в разработанной Д. А. Франк-Каменецким .
Вывод уравнения Для изотермической газовой звезды давление складывается из кинетического давления и давления излучения:
,
где
— плотность, — постоянная Больцмана, — средний молекулярный вес, — масса протона, — температура звезды, — постоянная Стефана — Больцмана, — скорость света.
Уравнение для состояния равновесия звезды требует баланса между силой давления и силой гравитации:
где равно радиусу, измеряемому от центра, является гравитационной постоянной. Уравнение переписывается в виде
Вводя преобразования
где — плотность звезды в центральной части, получаем выражение
Граничные условия таковы:
При решение близко к
Ограничения модели Предположение об изотермичности сферы имеет некоторые недостатки. Хотя полученная при решении плотность изотермической газовой сферы уменьшается с удалением от центра, всё же уменьшение слишком медленное для того, чтобы получалась надёжно определяемая поверхность и масса сферы оказывалась конечнойPoisson, Eric, and Clifford M. Will. Gravity: Newtonian, Post-Newtonian, Relativistic. Cambridge University Press, 2014.. Можно показать, что при ,
,
где и являются постоянными величинами, которые можно получить при численном решении. Такое поведение плотности приводит к увеличению массы при возрастании радиуса. Следовательно, модель обычно пригодна для описания ядер звёзд, где температура приблизительно постоянна.
Особое решение Преобразование приводит уравнение к виду
Уравнение имеет особое решение вида
Следовательно, можно ввести новую переменную при этом уравнение для можно вывести:
Данное уравнение можно свести к уравнению первого порядка, вводя переменную
тогда
Другие варианты уравнения Уравнение можно привести к другому виду. Пусть
тогда
Свойства Если является решением уравнения Чандрасекара, то также является решением уравнения при произвольной константе . Решения уравнения Чандрасекара, являющиеся конечными в начале координат, удовлетворяют условию при .
Примечания
Категория:Астрофизика Категория:Дифференциальные уравнения Категория:Физика звёзд Чандрасекара