Точная последовательность Эйлера — это определённая точная последовательность пучков на n-мерном проективном пространстве над кольцом. Она показывает, что кокасательное расслоение проективного пространства (n + 1)-кратной сумме тавтологических расслоений (см. скручивающий пучок Серра).
Формулировка Для коммутативного кольца A существует точная последовательность пучков
Для доказательства достаточно определить гомоморфизм , где и в степени 1, сюръективный в степенях и проверить, что локально на (n + 1)-й стандартных аффинных картах его ядро изоморфно модулю относительных дифференциалов.
Геометрическая интерпретация Мы предполагаем, что кольцо A является полем k.
Точная последовательность выше эквивалентна последовательности , где последний ненулевой член — это касательный пучок.
Рассмотрим V — (n + 1)-мерное векторное пространство над k и объясним точную последовательность
Эту последовательность легче всего понимать, интерпретируя средний член как пучок 1-однородных векторных полей на векторном пространстве V. Существует замечательное сечение этого пучка — эйлерово векторное поле — тавтологически определяемое путём сопоставления точке векторного пространства соответствующего этой точке вектора, перенесённого в касательное пространство в этой точке.
Это векторное поле радиально в том смысле, что оно зануляется на 0-однородных функциях, то есть функциях, инвариантных относительно гомотетии с центром в нуле.
Функция (определённая на некотором открытом множестве) на индуцирует 0-однородную функцию на V (вновь частично определённую). Мы получаем 1-однородные векторные поля, умножая эйлерово векторное поле на такие функции. Это определяет первое отображение.
Второе отображение связано с понятием дифференцирований, эквивалентным понятию векторных полей. Напомним, что векторное поле на открытом подмножестве U проективного пространства может быть определено как дифференцирование функций, определённых на этом открытом множестве. Рассматривая прообраз в V, это эквивалентно дифференцированию на прообразе U, сохраняющему 0-однородные функции. Любое векторное поле на может быть получено таким образом, и ядро полученного отображения состоит в точности из радиальных векторных полей.
Каноническое линейное расслоение проективного пространства Переходя к старшим внешним степеням, находим, что проективного пространства имеет вид . В частности, проективные пространства являются , так как каноническое линейное расслоение анти-обильно.
Примечания
Литература
Категория:Алгебраическая геометрия Категория:Проективная геометрия