Гипотеза Холла — теоретико-числовая гипотеза о разности полных квадратов и кубов: существует такая константа , что для всех целых чисел и таких, что , выполняется: . Сформулирована в 1970 году при исследовании диофантова при ; по первоначальной версии — , что соответствовало имеющимся на тот момент результатам.
В 1982 году установлено, что меньше чем бесконечно часто, то есть дана верхняя оценка на и доказано, что показатель 1/2 в правой части нельзя увеличить.
В 1965 году Дэвенпорт доказал аналог этой гипотезы для многочленов: если и — ненулевые многочлены над полем комплексных чисел, при этом в , тогда: .
Слабая гипотеза Холла В 1980 году предложена слабая гипотеза Холла — вариант проблемы, в которой квадратный корень в правой части неравенства заменён на любую степень, меньше 1/2: для любого существует константа , такая, что для всех имеет место: .
Обобщением этого варианта на другие показатели степени является гипотеза Пиллаи; при этом гипотеза Пиллаи выполняется, если слабая гипотеза Холла выполняется для любого .
Слабая версия гипотезы Холла следует из -гипотезы. В 1990-е годы установлено, что выполнение -гипотезы эквивалентно несколько более сильной версии неравенства: для любого существует константа , такая, что для всех взаимно простых и Из взаимной простоты следует :
где — радикал числа (произведение всех его различных простых делителей).
В связи с тем, что в 1998 году Элкисом найден пример: 4478849284284020423079182 − 58538865167812233 = −1641843, для которого должна быть меньше, чем 0,0214… ≈ 1/50, то есть примерно в 10 раз меньше изначальной оценки Холла, с 2000-х годов основные исследования фокусируются на ослабленных вариантах гипотезы, подтвердить которые представляется более перспективной задачей.
Примечания
Литература
Ссылки Noam Elkies. A page on the problem Ismael Jimenez Calvo. Table of good examples of Marshall Hall’s conjecture.
Категория:Диофантовы уравнения Категория:Математические гипотезы Категория:Открытые математические проблемы Категория:Эллиптические кривые __NOTOC__