Термин цоколь имеет несколько связанных значений в математике.

Цоколь группы В контексте теории групп цоколь группы G, обозначается soc(G), — это подгруппа, генерируемая группы G. Может случиться, что группа не имеет минимальной нетривиальной нормальной подгруппы (то есть любая нетривиальная нормальная подгруппа содержит другую такую подгруппу), в этом случае цоколь определяется как подгруппа, генерируемая единичным элементом. Цоколь является прямым произведением характеристически простых групп.

Как пример, рассмотрим циклическую группу Z12 с генератором u, которая имеет две минимальные нормальные подгруппы, одна генерируется элементом u 4 (который даёт нормальную подгруппу с 3 элементами), а другая — элементом u 6 (который даёт нормальную подгруппу с 2 элементами). Тогда цоколь группы Z12 — это группа, генерируемая элементами u 4 и u 6, которая просто генерируется элементом u 2.

Цоколь является характеристической подгруппой, а следовательно, нормальной подгруппой. Она, однако, не обязательно является .

Если группа G является конечной разрешимой группой, то цоколь можно выразить в виде произведения p-групп. В этом случае он просто является произведением копий Z/pZ для различных p, где некоторые p могут встречаться несколько раз.

Цоколь модуля В контексте модуля над кольцом и теории колец цоколь модуля M над кольцом R определяется как сумма минимальных ненулевых подмодулей модуля M. Он может рассматриваться как двойственный для . В обозначениях теории множеств

, где суммирование ведётся по всем подмодулям модуля M что эквивалентно , где пересечение ведётся по всем существенным подмодулям модуля M

Цоколь кольца R может относиться к одному из множеств в кольце. Предположим, что определён правый модуль R, soc(RR), и определён левый модуль, soc(RR). Оба эти цоколя являются идеалами колец и известно, что они не обязательно совпадают.

Если M является артиновым модулем, soc(M) сам является модуля M. Модуль является полупростым тогда и только тогда, когда soc(M) = M. Кольца, для которых soc(M) = M для всех M, являются в точности полупростыми модулями. soc(soc(M)) = soc(M). M является конечнопорождённым модулем тогда и только тогда, когда soc(M) является конечнопорождённым и soc(M) является модуля M. Поскольку сумма полупростых модулей является полупростым модулем, цоколь модуля можно определить как единственный максимальный полупростой подмодуль. Из определения rad(R) легко видеть, что rad(R) soc(R). Если R является конечномерной унитальной алгеброй и M является конечнопорождённым R-модулем, то цоколь состоит в точности из элементов, аннулируемых радикалом Джонсона кольца R.

Цоколь алгебры Ли В контексте алгебр Ли цоколь  — это собственное пространство его структурных автоморфизмов, которые соответствуют собственному значению −1. (Симметричная алгебра Ли разбивается на прямую сумму её цоколя и .).

См. также Инъективная оболочка

Примечания

Литература

Категория:Модули над кольцами Категория:Теория групп Категория:Функциональная подгруппа