В физике, предел Бекенштейна — это верхний предел энтропии S, или количества информации I, которые могут содержаться в заданной ограниченной области пространства, имеющей конечное количество энергии; либо, с другой стороны, максимальное количество информации, необходимое для идеального описания заданной физической системы вплоть до квантового уровняJacob D. Bekenstein, «Universal upper bound on the entropy-to-energy ratio for bounded systems» , Physical Review D, Vol. 23, No. 2, (January 15, 1981), pp. 287—298, , ... Это подразумевает, что информация о физической системе, или информация, необходимая для идеального описания системы, должна быть конечной, если система занимает конечное пространство и имеет конечную энергию. С точки зрения информатики это означает, что имеется максимум скорости обработки информации (предел Бремерманна) для физической системы, которая имеет конечные размеры и энергию, и что машина Тьюринга с конечными физическими размерами и неограниченной памятью физически нереализуема.
Бекенштейн показал, что максимум энтропии, связанный с телом, достигается при превращении его в чёрную дыру. Другими словами, при достижении предела Бекенштейна носитель информации совершает гравитационный коллапс, превращаясь в чёрную дыру.
Формулы Универсальная формулировка ограничения была первоначально открыта Яаковом Бекенштейном как неравенство
где S — энтропия, k — постоянная Больцмана, R — радиус сферы, охватывающей данную систему, Е — суммарная масса-энергия, включая массу покоя, ħ — приведённая постоянная Планка, а c — скорость света. Несмотря на существенную роль гравитации, выражение не содержит гравитационной постоянной G.
В применении к информации, ограничение формулируется в виде
где I — количество информации, выраженное как число битов, содержащихся в квантовых состояниях в сфере. Множитель ln 2 происходит от определения количества информации как логарифма по основанию 2 от числа квантовых состояний ()Frank J. Tipler, The structure of the world from pure numbers // Reports on Progress in Physics, Vol. 68, No. 4 (April 2005), pp. 897—964, , , p. 902.. Also released as Feynman-Weinberg Quantum Gravity and the Extended Standard Model as a Theory of Everything // , April 24, 2007, p. 8.. Используя эквивалентность массы и энергии, информационный предел может быть переформулирован как
где m — масса системы в килограммах, а радиус R выражен в метрах.
Происхождение Бекенштейн вывел предел, исходя из эвристических аргументов, касающихся чёрных дыр. Если существует система, нарушающая предел, то есть имеющая избыток энтропии, тогда, как утверждал Бекенштейн, можно было бы нарушить второй закон термодинамики, опустив систему в чёрную дыру. В 1995 году Тед Джекобсон показал, что уравнения Эйнштейна (уравнения гравитационного поля в общей теории относительности) могут быть выведены из предположения об истинности предела Бекенштейна и законов термодинамикиTed Jacobson. Thermodynamics of Spacetime: The Einstein Equation of State // Physical Review Letters, Vol. 75, Issue 7 (August 14, 1995), pp. 1260—1263, , . Also at , April 4, 1995. Also available here and here . Additionally available as an entry in the Research Foundation's 1995 essay competition. .Lee Smolin. Three Roads to Quantum Gravity. — New York, N.Y.: Basic Books. — 2002. — p. 173, 175.. Однако, несмотря на ряд предложенных аргументов, которые показывали, что в той или иной форме предел неизбежно должен существовать для взаимной непротиворечивости законов термодинамики и общей теории относительности, точная формулировка предела была предметом дискуссийJacob D. Bekenstein. How Does the Entropy/Information Bound Work? // Foundations of Physics, Vol. 35, No. 11 (November 2005), p. 1805—1823, , . Also at , April 7, 2004.Jacob D. Bekenstein. Bekenstein bound // Scholarpedia Scholarpedia, Vol. 3, No. 10 (October 31, 2008), p. 7374, .Raphael Bousso. Holography in general space-times // Journal of High Energy Physics, Vol. 1999, Issue 6 (June 1999), Art. No. 28, 24 pages, , . Mirror link. Also at , 3 June 1999.Raphael Bousso. A covariant entropy conjecture // Journal of High Energy Physics, Vol. 1999, Issue 7 (July 1999), Art. No. 4, 34 pages, , . Mirror link. Also at , 24 May 1999.Raphael Bousso. The holographic principle for general backgrounds // Classical and Quantum Gravity, Vol. 17, No. 5 (March 7, 2000), p. 997—1005, , . Also at , 2 November 1999.Jacob D. Bekenstein. Holographic bound from second law of thermodynamics // Physics Letters B, Vol. 481, Issues 2-4 (May 25, 2000), p. 339—345, , . Also at , 8 March 2000.Raphael Bousso. The holographic principle // Reviews of Modern Physics, Vol. 74, No. 3 (July 2002), p. 825—874, , .. Also at , 12 March 2002.Jacob D. Bekenstein. Information in the Holographic Universe: Theoretical results about black holes suggest that the universe could be like a gigantic hologram // Scientific American, Vol. 289, No. 2 (August 2003), p. 58—65..Raphael Bousso, Éanna É. Flanagan, Donald Marolf. Simple sufficient conditions for the generalized covariant entropy bound // Physical Review D, Vol. 68, Issue 6 (15 September 2003), Art. No. 064001, 7 pages, , . Also at , 19 May 2003.Jacob D. Bekenstein. Black holes and information theory // Contemporary Physics, Vol. 45, Issue 1 (January 2004), p. 31—43, , . Also at , 9 November 2003. Also at , 9 November 2003.Frank J. Tipler. The structure of the world from pure numbers // Reports on Progress in Physics, Vol. 68, No. 4 (April 2005), p. 897—964, , . Mirror link. Also released as Feynman-Weinberg Quantum Gravity and the Extended Standard Model as a Theory of Everything // , 24 April 2007. Tipler gives a number of arguments for maintaining that Bekenstein’s original formulation of the bound is the correct form. See in particular the paragraph beginning with «A few points …» on p. 903 of the Rep. Prog. Phys. article (or p. 9 of the arXiv version), and the discussions on the Bekenstein bound that follow throughout the article..
Примеры
Чёрные дыры Вычисляемая по формуле Бекенштейна и Хокинга энтропия трёхмерных чёрных дыр точно насыщает предел Бекенштейна:
где k — постоянная Больцмана, A — двумерная площадь горизонта событий чёрной дыры в единицах планковской длины, .
Предел тесно связан с термодинамикой чёрных дыр, голографическим принципом и голографическим пределом Буссо в квантовой гравитации и может быть выведен из предполагаемой сильной формы последнего.
Человеческий мозг В среднем человеческий мозг обладает массой 1,5 кг и объёмом 1,26 л. Если мозг аппроксимировать сферой, её радиус будет 6,7 см.
Предел Бекенштейна для количества информации в таком случае составит около бит, что представляет максимальное количество информации, необходимое для полного воссоздания среднего человеческого мозга вплоть до квантового уровня, а количество квантовых состояний человеческого мозга должно быть примерно .
См. также Принцип Ландауэра Колмогоровская сложность Термодинамика чёрных дыр Больцмановский мозг Цифровая физика Пределы вычислений Предел Чандрасекара
Примечания
Литература J. D. Bekenstein, «Black Holes and the Second Law», Lettere al Nuovo Cimento, Vol. 4, No 15 (August 12, 1972), pp. 737–740, , . Mirror link. Jacob D. Bekenstein, «Black Holes and Entropy», Physical Review D, Vol. 7, No. 8 (April 15, 1973), pp. 2333–2346, , . Mirror link. Jacob D. Bekenstein, «Generalized second law of thermodynamics in black-hole physics», Physical Review D, Vol. 9, No. 12 (June 15, 1974), pp. 3292–3300, , . Mirror link. Jacob D. Bekenstein, «Statistical black-hole thermodynamics», Physical Review D, Vol. 12, No. 10 (November 15, 1975), pp. 3077–3085, , . Mirror link. Jacob D. Bekenstein, «Black-hole thermodynamics», Physics Today, Vol. 33, Issue 1 (January 1980), pp. 24–31, , . Mirror link. Jacob D. Bekenstein, «Universal upper bound on the entropy-to-energy ratio for bounded systems», Physical Review D, Vol. 23, No. 2, (January 15, 1981), pp. 287–298, , . Mirror link. Jacob D. Bekenstein, «Energy Cost of Information Transfer», Physical Review Letters, Vol. 46, No. 10 (March 9, 1981), pp. 623–626, , . Mirror link. Jacob D. Bekenstein, «Specific entropy and the sign of the energy», Physical Review D, Vol. 26, No. 4 (August 15, 1982), pp. 950–953, , . Jacob D. Bekenstein, «Entropy content and information flow in systems with limited energy», Physical Review D, Vol. 30, No. 8, (October 15, 1984), pp. 1669–1679, , . Mirror link. Jacob D. Bekenstein, «Communication and energy», Physical Review A, Vol. 37, Issue 9 (May 1988), pp. 3437–3449, , . Mirror link. Marcelo Schiffer and Jacob D. Bekenstein, «Proof of the quantum bound on specific entropy for free fields», Physical Review D, Vol. 39, Issue 4 (February 15, 1989), pp. 1109–1115, , . Jacob D. Bekenstein, «Is the Cosmological Singularity Thermodynamically Possible?», International Journal of Theoretical Physics, Vol. 28, Issue 9 (September 1989), pp. 967–981, , . Jacob D. Bekenstein, «Entropy bounds and black hole remnants», Physical Review D, Vol. 49, Issue 4 (February 15, 1994), pp. 1912–1921, , . Also at , July 25, 1993. Oleg B. Zaslavskii, «Generalized second law and the Bekenstein entropy bound in Gedankenexperiments with black holes», Classical and Quantum Gravity, Vol. 13, No. 1 (January 1996), pp. L7-L11, , . See also O. B. Zaslavskii, «Corrigendum to 'Generalized second law and the Bekenstein entropy bound in Gedankenexperiments with black holes'», Classical and Quantum Gravity, Vol. 13, No. 9 (September 1996), p. 2607, , . Jacob D. Bekenstein, «Non-Archimedean character of quantum buoyancy and the generalized second law of thermodynamics», Physical Review D, Vol. 60, Issue 12 (December 15, 1999), Art. No. 124010, 9 pages, , . Also at , June 16, 1999.
Ссылки Jacob D. Bekenstein, «Bekenstein bound» , Scholarpedia, Vol. 3, No. 10 (2008), p. 7374, . Jacob D. Bekenstein, «Bekenstein-Hawking entropy» , Scholarpedia, Vol. 3, No. 10 (2008), p. 7375, . Jacob D. Bekenstein’s website at the Racah Institute of Physics, Hebrew University of Jerusalem, which contains a number of articles on the Bekenstein bound. страница Яакова Бекенштейна (Еврейский университет в Иерусалиме), на которой опубликован ряд статей о пределе Бекенштейна.
Категория:Квантовый компьютер Категория:Чёрные дыры