Упорядоченное кольцо в общей алгебре — это кольцо (обычно коммутативное), для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями кольца. Наиболее практически важными примерами являются кольцо целых чисел и кольца целых кратных.
Определение Пусть — кольцо, для элементов которого определён линейный порядок, то есть задано отношение (меньше или равно) со следующими свойствами.
Рефлексивность: . Транзитивность: если и , то . Антисимметричность: если и , то . Линейность: все элементы сравнимы между собой, то есть либо , либо . Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения кольца: Если , то для любого z: . Если и , то . Если все 6 аксиом выполнены, то кольцо называется упорядоченным.
Примеры упорядоченных колец Кольцо целых чисел Кольцо чётных чисел и вообще любое кольцо чисел, кратных заданному ненулевому вещественному числу (не обязательно целому). Любое упорядоченное поле — например, поля рациональных и вещественных чисел) являются также упорядоченными кольцами. Пример упорядоченного кольца с делителями нуля: если в аддитивной группе целых чисел положить все произведения равными нулю, то получится упорядоченное кольцо, в котором любой элемент является делителем нуля (единица тогда не является нейтральным элементом для умножения, так что получается кольцо без единицы).
Связанные определения Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения: Отношение больше или равно: означает, что . Отношение больше: означает, что и . Отношение меньше: означает, что . Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.
Элементы, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. Множество положительных элементов упорядоченного кольца часто обозначается через
Дискретное упорядоченное кольцо — это упорядоченное кольцо, в котором нет элементов между 0 и 1. Целые числа представляют собой дискретное упорядоченное кольцо, а рациональные числа — нет.
Основные свойства Для всех имеют место следующие свойства. Всякий элемент упорядоченного кольца относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если положителен, то отрицателен, и наоборот. Однотипные неравенства можно складывать: Если и , то . Неравенства можно умножать на неотрицательные элементы: Если и , то . Упорядоченное кольцо не имеет делителей нуля тогда и только тогда, когда произведение положительных элементов положительно. Правило знаков: произведение ненулевых элементов с одинаковыми знаками неотрицательно (если в кольце нет делителей нуля, то положительно), а произведение положительного элемента на отрицательный неположительно (если нет делителей нуля, то отрицательно), Следствие 1: в упорядоченном кольце квадрат ненулевого элемента всегда неотрицателен (а если нет делителей нуля, то положителен). Следствие 2: в упорядоченном кольце с единицей всегда (так как 1 есть квадрат самой себя). Упорядоченное кольцо, которое не является тривиальным (то есть содержит не только ноль), бесконечно. Любое упорядоченное кольцо с единицей и без делителей нуля содержит одно и только одно подкольцо, изоморфное кольцу целых чисел.
Примеры колец и полей, которые не допускают упорядочения Комплексные числа не образуют упорядоченного кольца, потому что в упорядоченном кольце, как указано выше, квадрат элемента всегда неотрицателен, и мнимая единица не может в него входить. Конечные поля. p-адические числа.
Абсолютная величина Определим абсолютную величину элемента
Здесь функция осуществляет выбор наибольшего значения. Она обладает следующими свойствами (для всех из кольца). тогда и только тогда, когда . Для всех ненулевых и только для них . Абсолютные величины противоположных чисел совпадают: Неравенство треугольника: . Мультипликативность: равносильно
Вариации и обобщения Теория упорядоченных колец охватывает также особые случаи некоммутативных (или даже неассоциативных) колец. Исследуются и другие вариации: Кольцо является не линейным, а лишь частично упорядоченным, то есть не все элементы можно сравнить с помощью заданного порядка. Вместо кольца имеется полукольцо, то есть в нём, вообще говоря, нет вычитания. Пример: натуральный ряд, расширенный нулём.
Примечания
Литература
Ссылки Ordered ring на сайте PlanetMath .
Категория:Упорядоченные множества Категория:Теория колец