Множество называется вполне ограниченным, если для любого положительного ε существует конечная ε-сеть для этого множества.
Замечания Понятия вполне ограниченности и ограниченности совпадают в случае конечномерных евклидовых пространств . Действительно, достаточно взять минимальный куб, содержащий данное ограниченное множество, со стороной . Затем — разбить его на кубиков со сторонами . Вершины кубов дают конечную ε-сеть, нужный ε достигается увеличением . Если на конечномерном пространстве вводить новые метрики, то ограниченные множества могут перестать быть вполне ограниченными. Такой результат, например, дает метрика или дискретная метрика. В бесконечномерном пространстве ограниченность также не тождественна вполне ограниченности. В единичном шаре потребуется бесконечное количество шаров радиуса ε<1, чтобы покрыть точки вида , . В полном метрическом пространстве вполне ограниченность влечет за собой предкомпактность. Это свойство требуется при доказательстве теоремы Арцела-Асколи. Иногда термин «вполне ограниченность» () путают с термином «полная ограниченность» (). Последний имеет отношение к линейным операторам из квантового функционального анализа.
Литература Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — : Наука, 1976. — 106 с.
Категория:Метрическая геометрия Категория:Функциональный анализ