Условие Слейтера — это достаточное условие для строгой двойственности в задаче выпуклой оптимизации. Условие названо именем Мортона Л. Слейтера. Неформально условие Слейтера утверждает, что допустимая область должна иметь внутреннюю точку (см. подробности ниже).
Условие Слейтера является примером условий регулярности. В частности, если условие Слейтера выполняется для прямой задачи, то разрыв двойственности равен 0 и, если значение двойственной задачи конечно, оно достигается.
Формулировка Рассмотрим задачу оптимизации Минимизировать При ограничениях
, где являются выпуклыми функциями. Это экземпляр задачи выпуклого программирования.
Другими словами, условие Слейтера для выпуклого программирования утверждает, что сильная двойственность выполняется, если существует точка , такая, что лежит строго внутри области допустимых решений (то есть все ограничения выполняются, а нелинейные ограничения выполняются как строгие неравенства).
Математически условие Слейтера утверждает, что сильная двойственность выполняется, если существует точка (где relint обозначает относительную внутренность выпуклого множества ), такая, что (выпуклые нелинейные ограничения) .
Обобщённые неравенства Пусть дана задача Минимизировать При ограничениях
, где функция выпукла, а -выпукла для любого . Тогда условие Слейтера гласит, что в случае, когда существует , такое, что и
то имеет место строгая двойственность.
Примечания
Литература
Перепечатано в
Категория:Выпуклая оптимизация