Константа Рамануджана — Зольднера (также константа Зольднера) — вещественное число, определяемое как значение единственного положительного корня интегрального логарифма. Константа названа в честь Сринивасы Рамануджана и Иоганна фон Зольднера, которые в разное время вычислили её приближённое значение.
Её значение равно примерно ().
Свойства Неизвестно, является ли постоянная Рамануджана — Зольднера иррациональным числом, также неизвестно, иррационален ли её логарифм.
Поскольку интегральный логарифм определён как , верно
.
Это облегчает вычисление интеграла для . Поскольку интегральная показательная функция удовлетворяет равенству , то её единственный положительный корень равен натуральному логарифму константы Рамануджана — Зольднера. Его величина ().
Из разложения интегрального логарифма в ряд следует, что , где — постоянная Эйлера — Маскерони.
Другое разложение интегрального логарифма в ряд, обнаруженное Рамануджаном, показывает, что .
Для последовательности известны следующие суммы:
.
История вычисления В 1792 году Лоренцо Маскерони вычислил, что функция имеет нуль при . Зольднер в 1809 году улучшил точность до 10 знаков после запятой, получив 1,4513692346 (впрочем, в последнем знаке он ошибся).
В 1913 году Рамануджан получил для значение 1,45136380. Он использовал его для вычисления интегрального логарифма, который, в свою очередь, входил в его оценку функции распределения простых чисел.
В 1990 году и Рональд Эванс при помощи системы компьютерной алгебры Macsyma смогли улучшить известное значение , получив 1,4513692349.
В 1999 году Паскаль Себа вычислил 10 000 знаков числа , а в 2001 году он смог получить 75 500 знаков; для вычисления он применял метод Ньютона четвёртого порядка. Его результат оставался рекордом по крайней мере до августа 2010 года. Для сравнения, постоянная Каталана была вычислена Себой и Гордоном в том же 2001 году с точностью более 100 миллионов знаков после запятой.
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Математические константы Категория:Сриниваса Рамануджан