Эта-функция Дирихле в аналитической теории чисел — функция, определённая следующим рядом Дирихле, сходящимся для любого комплексного числа , у которого действительная часть больше 0:
Этот ряд Дирихле — знакочередующийся, он соответствует ряду Дирихле дзета-функции Римана , поэтому эта-функция Дирихле также известна как альтернативная дзета-функция и иногда обозначается как . Выполняются следующие равенства:
( — гамма-функция, это равенство представляет эта-функцию как преобразование Меллина).
И эта-функция Дирихле, и дзета-функция Римана являются частными случаями полилогарифма:
Харди вывел для эта-функции функциональное уравнение
которое позволяет продолжить её на всю комплексную плоскость, не ограничиваясь случаем .
Нули Нули эта-функции включают в себя все нули дзета-функции — отрицательные целые числа, точки такие, что где (целое число, не равное 0).
Значения в некоторых точках
Общая форма для чётных неотрицательных целых чисел:
где — числа Бернулли.
Литература
Landau, Edmund, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Berlin, 1909, p. 160. (Second edition by Chelsea, New York, 1953, p. 160, 933
Категория:Аналитическая теория чисел