Пси-функции Бухгольца являются иерархией ординальных коллапсирующих функций , введенной немецким математиком Вилфридом Бухгольцем в 1986 году. Эти функции являются упрощенной версией -, но тем не менее, имеют такую же силу. Позже этот подход был расширен немецкими математиками Г. Егером и К. Шютте.
Определение
Бухгольц определил свои функции следующим образом:
где – наименьший трансфинитный ординал
– множество аддитивно главных чисел в форме , таких что и и , где – класс всех ординалов.
Примечание: греческие буквы везде означают ординалы.
Пределом этой нотации является ординал Такеути-Фефермана-Бухгольца .
Свойства
Бухгольц показал следующие свойства этих функций:
в частности,
Фундаментальные последовательности и нормальная форма для функций Бухгольца
Нормальная форма
Нормальной формой для нуля является 0. Если – ненулевой ординал, тогда нормальной формой для является , где и , где каждый ординал также записан в нормальной форме.
Фундаментальные последовательности
Фундаментальная последовательность для предельного ординала с кофинальностью – это строго возрастающая трансфинитная последовательность с длиной и с пределом , где представляет собой -й элемент этой последовательности, то есть .
Для предельных ординалов , записанных в нормальной форме, фундаментальные последовательности определяются следующим образом:
Если , где , тогда и , Если , тогда и , Если , тогда и , Если , тогда и (отметим, что: ), Если и , тогда и , Если и , тогда и , где .
Объяснение принципов нотации
Поскольку Бухгольц работает в системе Цермело — Френкеля, каждый ординал равен множеству всех меньших ординалов, . Условие означает, что множество содержит все ординалы, меньшие чем или другими словами .
Условие означает, что множество содержит:
все ординалы из предыдущего множества , все ординалы, которые могут быть получены суммированием аддитивно главных ординалов из предыдущего множества , все ординалы, которые могут быть получены применением ординалов (меньших чем ) из предыдущего множества , как аргументов функций , где .
Поэтому данное условие может быть переписано следующим образом:
Таким образом, объединение всех множеств с , то есть , является множеством всех ординалов, которые могут быть образованы из ординалов функциями + (сложение) и , где и .
Тогда является наименьшим ординалом, который не принадлежит этому множеству.
Примеры
Рассмотрим следующие примеры:
(поскольку нет значений функций для , а 0 + 0 = 0).
Тогда .
содержит и все возможные суммы натуральных чисел. Следовательно, – первый трансфинитный ординал, который больше всех натуральных чисел по определению.
содержит и все их возможные суммы. Следовательно, .
Если , тогда и .
Если , тогда и – наименьшее число эпсилон, то есть первая неподвижная точка .
Если , тогда и .
– второе число эпсилон,
, то есть первая неподвижная точка ,
, где обозначает функцию Веблена,
, где обозначает , а обозначает
– ,
– ,
– ,
Теперь рассмотрим, как работает функция :
, то есть содержит все счетные ординалы. Следовательно, содержит все возможные суммы всех счетных ординалов и является первым несчетным ординалом, который больше всех счетных ординалов по определению, то есть наименьшим ординалом с кардинальностью .
Если , тогда и .
, где – натуральное число, ,
Для случая множество содержит функции со всеми аргументами, меньшими чем , то есть такими аргументами, как
и тогда
В общем случае:
Примечания
Ссылки
Категория:Функции Категория:Большие числа Категория:Теория множеств