Изучение геодезических на эллипсоиде возникло в связи с задачами геодезии, а именно с обработкой сетей триангуляции. Фигура Земли хорошо описывается эллипсоидом вращения, слегка сплющенной сферой. Геодезическая (геодезическая линия) это кратчайший путь между двумя точками на кривой поверхности, на плоскости он обращается в прямую. Таким образом, обработка сети триангуляции на эллипсоиде использует ряд задач сфероидической тригонометрии.

Если рассматривать Землю как сферу, то геодезические являются большими кругами (все из которых замкнуты) и задача сводится к сферической тригонометрии. Однако, показал, что эффект вращения Земли приводит к сжатию, соответственно фигура обращается в сплюснутый эллипсоид вращения, в этом случае только экватор и меридианы являются простыми замкнутыми геодезическими. Кроме того, кратчайший путь между двумя точками на экваторе необязательно проходит вдоль экватора. Наконец, если эллипсоид преобразовать в трехосный (с тремя различными полуосями), то только три геодезических линий будут замкнутыми.

Геодезические на эллипсоиде вращения Есть несколько способов определения геодезических. Простое определение — кратчайший путь между двумя точками на поверхности. Однако, в общем случае более полезно определять геодезические как пути с нулевой геодезической кривизной, аналог прямых на искривленной поверхности. Это определение охватывает геодезические, протяженные так далеко по поверхности эллипсоида (несколько больше половины полуокружности) что другие различные маршруты требуют меньшего расстояния. Локально эти геодезические все еще идентичны кратчайшему расстоянию между двумя точками.

К концу 18 века эллипсоид вращения (аналогичен термину сфероид) являлся принятым и используемым приближением фигуры Земли. Обработка сетей триангуляции влечет за собой редукцию всех измерений к референц-эллипсоиду и решению исходной задачи на плоскости как задачи сфероидической тригонометрии.

Возможно свести все различные геодезические задачи к двум типам. Рассмотрим две точки: точка с широтой и долготой и с широтой и долготой (см Рис. 1). Соединяющая их геодезическая (от к ) это , с длиной , у которой есть азимуты и в двух конечных точках. Под двумя геодезическими задачами обычно понимают следующее: Прямая геодезическая задача или первая геодезическая задача, в которой, имея исходные , , и , определяют и ; Обратная геодезическая задача или вторая геодезическая задача, в которой даны и , и требуется найти , , и . Как видно из Рис. 1, решение этих проблем включает в себя решение треугольника где дан один угол, для прямой задачи и для обратной задачи, а также две его смежные стороны. Для сферы решение этих главных задач сводится к простым задачам сферической тригонометрии, решение которых сводится к формулам для решения сферического треугольника. (См. статью Большой круг.)

Для эллипсоида вращения, характерная константа, определяющая геодезическую была найдена . А систематическое решение для путей геодезических было дано Лежандром и Ориани (а также последующими работами в и ). Полное решение прямой задачи (в комплексе с вычислительными таблицами и примером вычислений) дал .

На протяжении 18 века геодезические, как правило, называли «кратчайшими линиями». Термин «геодезическая линия» был введен Лапласом: Nous désignerons cette ligne sous le nom de ligne géodésique [Мы будем называть эту линию геодезическая линия]. Этот термин вошел в английский язык как «геодезическая линия» или «геодезическая», как пример, A line traced in the manner we have now been describing, or deduced from trigonometrical measures, by the means we have indicated, is called a geodetic or geodesic line: it has the property of being the shortest which can be drawn between its two extremities on the surface of the Earth; and it is therefore the proper itinerary measure of the distance between those two points. [Линия, пролегающая в форме, которую мы описали, или выведенная из тригонометрических измерений, как мы указали, называется геодезической или геодезической линией: она имеет свойство быть самой короткой, которую можно провести между двумя пунктами на поверхности Земли; и, следовательно, истинным путем измерения расстояния между двумя этими пунктами.] В применении к другим областям, термин геодезическая линия, часто сокращается до геодезической, которой было отдано предпочтение.

Этот раздел рассматривает задачу на эллипсоиде вращения (как сплюснутого, так и вытянутого). Задача на трехосном эллипсоиде рассматривается в следующем разделе.

Уравнения для геодезической

Здесь выведены уравнения для геодезической; Данный вывод объединяет уравнения Бесселя, Йордана-Эггерта, Багратуни, Ганшина, Краковски-Томпсона, Раппа, Джекелея и Бора-Странга.

Рассмотрим эллипсоид вращения с экваториальным радиусом и полярным радиусом . Определим сжатие , эксцетриситет , и второй эксцентриситет . (В большинстве случаев, в геодезии применяется сплюснутый эллипсоид ; однако, в теории применяется вытянутый эллипсоид, , причем в этом случае , , и отрицательные.)

Пусть элементарный отрезок пути на эллипсоиде имеет длину . Из Рис. 2 и 3, мы видим что если известен его азимут , то связан с и следующим образом (1) где представляет собой радиус кривизны меридиана, радиус круга с широтой , и представляет собой радиус нормального сечения. Следовательно элементарный отрезок равен

или

Где и функция Лагранжа отражающая зависимость от и . Длина произвольной линии между and задается

где функция от удовлетворяющих и . Кратчайший путь или геодезическая находится через функцию . Это задача в области вариационного исчисления и связана с минимизацией условий. Оно задается с помощью тождества Бальтрами,

Подставляя и применяя Форм. (1) получим

вывел это соотношение, используя геометрическую конструкцию; аналогичный вывод получен Люстерником. Дифференцируя это соотношение получим

Данное равенство совместно с уравнением (1) приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для геодезической

Мы можем выразить через приведенную широту

и соотношение Клеро примет вид

Это синусоидальное правило сферической тригонометрии устанавливающее связь между двумя сторонам треугольника (см. Рис. 4) и и противолежащими углам и .

Для того чтобы найти соотношение для третьей стороны , сферической длины дуги, и прилежащего угла , сферической долготы, полезно рассмотреть треугольник , представляющий собой геодезическую, берущую начало на экваторе (см. рис. 5). На этом рисунке элементы, отнесенные к вспомогательной области, приведены с указанными в скобках значениями на эллипсоиде. Величины без индексов относятся к произвольной точке .  — точка, в которой геодезическая пересекает экватор, используется в качестве начала отчета для , и .

Если сторону увеличить путем перемещения в бесконечность (см. Рис. 6), получим (2) Комбинация формул (1) и (2) дает дифференциальное уравнение для и

Соотношение и

дает

таким образом дифференциальное уравнение для геодезической примет вид

Последний шаг состоит в использовании в качестве независимого параметра в обоих дифференциальных уравнениях для выражения и в интегральном виде. Применение синусоидальное правила к вершинам и в сферическом треугольнике на Рис. 5 дает

где азимут при вершине . Подставляя в уравнение для и интегрируя получим (3) где

причем вводится ограничение . указывает на то, что уравнение для такое же, как уравнение для дуги на эллипсоиде с полуосями и . Для того, чтобы выразить уравнение для через , запишем

что следует из уравнения (2) и соотношения Клеро. Это позволяет получить (4) причем применяются следующие ограничения: на пересечении экватора и .

Это завершает нахождение длины геодезической с использованием вспомогательной сферы. Использование данного способа позволяет точно сопоставить большой круг с геодезической на эллипсоиде вращения.

Существует также несколько способов аппроксимации геодезических на земном эллипсоиде (с малым сжатием); некоторые из них описаны в статье о географическом расстоянии. Тем не менее, они, как правило, сопоставимы по сложности точному решению Джекелея.

Поведение геодезических

На Рис. 7 показаны простые замкнутые геодезические, которые состоят из меридианов (зеленые) и экватора (красный). (Здесь под определением «простая» подразумевается, что геодезическая замыкается без промежуточного самопересечения.) Это следует из уравнений для геодезических, приведенных в предыдущем разделе.

Все остальные геодезические изображены на Рис. 8 и 9, которые показывают геодезические начиная от экватора с . Геодезическая колеблется вокруг экватора. Пересечения экватора называются узлы, а точки максимума и минимума широты называются вершинами; вершины широты задаются: . Геодезическая совершает одно полное колебание в широте до того, как долгота увеличится на . Таким образом, на каждом последующем северном пересечении экватора (Рис. 8), отстает от полного круга экватора приблизительно на (для вытянутого эллипсоида эта величина отрицательна и совершает более, чем один полный круг; см. Рис. 10). Почти для всех значений , геодезическая покроет область эллипсоида между двумя параллелями с максимальной и минимальной широтой (Рис. 9).

Если эллипсоид достаточно сплюснутый, то есть, , возможен еще один вид простых замкнутых геодезических. Две такие геодезические показаны на Рис. 11 и 12. Здесь и экваториальный азимут, , для зеленой (соотв. синей) геодезической задан как (соотв. ), так что геодезическая совершает 2 (соотв. 3) полных колебания относительно экватора на одном круге по эллипсоиду.

На Рис.13 показаны геодезические (синим) исходящие из с , кратным вплоть до то точки, в которой они перестают быть кратчайшими путями. (Сжатие было увеличено до чтобы подчеркнуть эллипсоидальные эффекты.) Также показаны (зеленым) кривые с постоянной , которые являются геодезическими окружностями с центром . показал, что на любой поверхности, геодезические и геодезический круг пересекаются под прямым углом. Красная линия — множество раздела (катлокус), множество точек, которые имеют несколько (в данном случае две) кратчайших геодезических из . На сфере катлокус является точкой. На сплющенном эллипсоиде (показанном здесь) он представляет собой сегмент параллели с центром в точке, диаметрально противоположной , . Протяженность катлокуса по долготе приблизительно . Если лежит на экваторе, , это соотношение является точным и, как следствие, экватор является кратчайшей геодезической, только если выполняется условие . Для вытянутого эллипсоида, катлокус представляет собой сегмент анти-меридиана с центром в точке, диаметрально противоположной , , и это означает, что меридианные геодезические перестают быть кратчайшими путями при достижении противоположной точки.

Решение прямых и обратных задач Решение геодезических задач подразумевает проектирование геодезических на вспомогательную сферу и решение соответствующих задач по большому кругу. При решении «элементарного» сферического треугольника на Рис.5, по правилу Непера получим,

Определение геодезических включает в себя решение интегралов для расстояния, , и долготы, , Ур. (3) и (4) которые, в свою очередь, зависят от параметра .

Решение прямой задачи не вызывает сложности, потому что может быть определен непосредственно из заданных величин и .

В случае обратной задачи, задана; из этого нельзя быстро перейти к эквивалентному сферическому углу , потому что неизвестен. Таким образом, для решения задачи требуется находить итеративно.

В геодезии, где мал, интегралы раскладываются в ряд. Для любых , интегралы (3) и (4) могут быть найдены численно или выражением их в эллиптические интегралы.