Коприсоединённое представление группы Ли — это представление, к присоединённому. Если — алгебра Ли группы , соответствующее действие на пространстве , сопряжённом к , называется коприсоединённым действием. С геометрической точки зрения оно представляет собой действие левыми сдвигами на пространстве правоинвариантных 1-форм на .
Важность коприсоединённого представления была подчёркнута в работах А. А. Кириллова, показавшего, что ключевую роль в теории представлений нильпотентных групп Ли играет понятие орбиты коприсоединённого представления (К-орбиты). В Кириллова представления строятся геометрически, отталкиваясь от К-орбит. В некотором смысле последние заменяют собой классы сопряжённости , которые могут быть устроены сложным образом, в то время как работать с орбитами сравнительно просто.
Определение Пусть — группа Ли и — её алгебра Ли, — присоединённое представление . Тогда коприсоединённое представление определяется как . Более точно,
где — значение линейного функционала на векторе .
Пусть — представление алгебры Ли в , индуцированное коприсоединённым представлением группы Ли . Тогда для справедливо равенство , где — присоединённое представление алгебры Ли . Это заключение может быть сделано исходя из инфинитезимальной формы приведённого выше определяющего уравнения для :
где — из в .
Генераторы Пусть — дифференцируемая функция на . Рассмотрим изменение функции при коприсоединённом действии однопараметрической подгруппы в направлении вектора и продифференцируем его в единице группы:
Здесь — градиент функции , который естественным образом отождествляется с элементом алгебры . Выберем некоторый базис в алгебре и пусть — взаимный ему базис в , то есть , , где — символ Кронекера. Возьмём в качестве базисный вектор . Тогда равенство () приобретает вид
(по дважды повторяющимся индексам здесь и ниже подразумевается суммирование), откуда видно, что в качестве базиса генераторов коприсоединённого действия можно выбрать набор векторных полей , где — структурные константы алгебры .
Инварианты Инварианты коприсоединённого действия удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
Определим антисимметричную билинейную форму на посредством равенства . Количество независимых уравнений в системе () равно . Её решения в окрестности точки общего положения (то есть точки, в которой ранг формы максимален) называются функциями Казимира алгебры . Число функционально независимых нетривиальных (не тождественно постоянных) функций Казимира называется индексом алгебры и равно . Так как ранг антисимметричной формы чётен, то чётности индекса и размерности алгебры всегда совпадают.
Помимо функций Казимира , , определённых в точках общего положения пространства , могут существовать инварианты, заданные на особых подмногообразиях коприсоединённого действия, на которых ранг формы ниже максимального. Если на особом инвариантном побмногообразии ранг формы равен , , то непостоянные решения системы (), ограниченной на подмногообразие , называются функциями Казимира типа . Совокупность независимых функций образует базис инвариантов коприсоединённого действия: любой инвариант может быть выражен как функция от элементов этого набора. Из вида системы () следует, что базис инвариантов всегда может быть составлен из однородных функций от компонент ковектора .
К-орбиты Орбита коприсоединённого представления, или, коротко, К-орбита, , проходящая через точку в сопряжённом пространстве к алгебре Ли , может быть определена как орбита , или, эквивалентно, как однородное пространство , где — стабилизатор точки относительно коприсоединённого действия группы .
Орбиты общего положения имеют максимально возможную размерность, равную , и называются невырожденными, или регулярными. Такие орбиты определяются через произвольный набор независимых функций Казимира уравнениями
Аналогично вырожденные, или сингулярные, орбиты размерности , составляющие особые инвариантные подмногообразия , определяются уравнениями
где — количество независимых функций Казимира типа . Если функции Казимира однозначны, каждому набору постоянных соответствует счётное (как правило, конечное) число орбит. Ковекторы, принадлежащие (не)вырожденной орбите, также называют (не)вырожденными.
Форма Кириллова Орбиты коприсоединённого представления являются подмногообразиями чётной размерности в и обладают естественной симплектической структурой. На каждой орбите существует замкнутая невырожденная -инвариантная 2-форма , которая строится следующим образом. Пусть — определённая выше антисимметричная билинейная форма на . Тогда можно определить посредством равенства .
Существование, невырожденность и -инвариантность вытекают из следующих фактов:
Касательное пространство может быть отождествлено с , где — алгебра Ли группы . Ядро отображения есть в точности . инвариантно относительно действия .
Кроме того, форма замкнута. Каноническую 2-форму называют формой Кириллова, Кириллова — или Кириллова — Костанта — Сурио.
К-орбита называется целочисленной, если форма Кириллова принадлежит целочисленному классу когомологий, то есть её интеграл по любому двумерному циклу в равен целому числу: . Целочисленные орбиты играют центральную роль при построении неприводимых представлений групп Ли методом орбит.
Скобка Березина Форма снабжает пространство структурой со скобкой Ли — Пуассона , являющейся вырожденной скобкой Пуассона: из вида генераторов коприсоединённого действия очевидно, что функции Казимира (и только они) коммутируют относительно неё с любой функцией на . Ограничение этой скобки на орбиты коприсоединённого представления, называемое скобкой Березина, невырожденно и совпадает со скобкой Пуассона , порождаемой формой Кириллова: . Здесь — гамильтоново векторное поле с гамильтонианом .
Свойства К-орбит Коприсоединённое действие на К-орбите являетсяa с . Если для орбиты существует поляризация, то вложение может быть реализовано функциями , линейными по переменным , где — канонические координаты для формы Кириллова на орбите .
Примеры
Группа E(2) Алгебра Ли группы движений евклидовой плоскости определяется коммутационными соотношениями
(коммутирующие элементы и соответствуют трансляциям плоскости в направлении двух координатных осей, а элемент — вращению вокруг некоторой точки; таким образом, группа трёхмерна). Соответственно, матрица формы имеет вид
Её ранг равен двум всюду, кроме прямой , представляющей собой особое инвариантное подмногообразие коприсоединённого действия группы на , поэтому невырожденные К-орбиты двумерны. По генераторам этого действия
выписываются два независимых уравнения , определяющие единственную функцию Казимира. Неособые многообразия её уровня , каждое из которых состоит из одной орбиты, представляют собой цилиндры с общей осью . Особое многообразие уровня () совпадает с и состоит из (нульмерных) сингулярных орбит , . Форма Кириллова
приводится к каноническому виду в цилиндрических координатах, ограниченных на фиксированную орбиту : . Заметим, что переход к каноническим переменным в данном случае линеен по . Возможность линейного по «импульсу» --перехода гарантируется наличием в двумерной подалгебры трансляций, натянутой на векторы , , являющейся в силу своей коммутативности поляризацией для любой невырожденной К-орбиты.
Группа SO(3) — (трёхмерная) группа вращений трёхмерного евклидова пространства. Коммутационные соотношения в её алгебре Ли
(каждый базисный вектор соответствует генератору вращения в одной из трёх взаимно перпендикулярных плоскостей) определяют вид матрицы формы : . Из трёх генераторов коприсоединённого представления в каждой точке линейно независимы только два, поэтому несингулярные орбиты двумерны. Они представляют собой концентрические сферы , с центром в начале координат. Особое подмногообразие состоит из одной точки , так как только в ней все три генератора становятся нулевыми.
Поскольку в алгебре нет двумерных подалгебр, то регулярные ковекторы не имеют поляризаций, соответственно, вложение регулярных орбит в пространство не может быть реализовано функциями, линейными по каноническим -переменным для формы Кириллова . Однако (комплексные) двумерные подалгебры, подчинённые невырожденным ковекторам, имеются в , комплексификации алгебры . Например, для ковектора таковой является подалгебра , поэтому такое вложение оказывается возможным посредством переменных, принимающих комплексные значения: . Легко проверить, что этим преобразованием форма действительно приводится к каноническому виду.
См. также Присоединённое представление
Теорема Бореля — Вейля — Ботта
Литература
Kirillov, A. A., Lectures on the Orbit Method, , Vol. 64, American Mathematical Society, ,
Примечания
Ссылки
Категория:Алгебра Категория:Теория групп Категория:Теория представлений Категория:Геометрия Категория:Дифференциальная геометрия и топология Категория:Группы Ли Категория:Симплектическая геометрия