В данной статье приведены точные алгебраические выражения для некоторых тригонометрических чисел. Такие выражения могут потребоваться, например, для приведения результатов выражений с тригонометрическими функциями в радикальную форму, что даёт возможность для дальнейшего упрощения.
Любое тригонометрическое число алгебраично. Некоторые тригонометрические числа могут быть выражены в комплексных радикалах, однако не всегда в действительных: в частности, среди значений тригонометрических функций в углах, выражающихся целым числом градусов, в действительных радикалах могут быть выражены только значения в тех из них, количество градусов в которых кратно трём. Но по теореме Абеля бывают и те, которые неразрешимы в радикалах.
По у синуса с рациональным в градусах аргументом значение либо иррационально, либо равно одному из чисел среди , , , , .
По если синус, косинус или тангенс в данной точке дают алгебраическое число, то их аргумент в градусах либо рационален, либо трансцендентен. Иначе говоря, если аргумент в градусах алгебраичен и иррационален, то значения всех тригонометрических функций от этого аргумента будут трансцендентны.
Критерии включения Значения для тригонометрических функций от аргумента, соизмеримого с , выразимы в действительных радикалах, только если знаменатель сокращённой рациональной дроби, полученной делением его на , является степенью двойки, умноженной на произведение нескольких простых чисел Ферма (см. теорема Гаусса — Ванцеля). Данная страница посвящена преимущественно углам, выражающимся в действительных радикалах.
При помощи формулы половинного угла можно получать алгебраические выражения для значений тригонометрических функций в любом угле, для которого они уже найдены, делённом пополам. В частности, для углов, лежащих на промежутке от до , верны формулы , и .
Выражения ниже позволяют также получать выражения в комплексных радикалах значений тригонометрических функций в тех углах, в которых они не выражаются в действительных. К примеру, при наличии формулы для угла формула для может быть получена путём решения следующего уравнения третьей степени:
Однако в его решении в общем виде могут возникнуть комплексные невещественные числа (этот случай называется casus irreducibilis).
Таблица некоторых часто встречающихся углов Встречаются различные единицы измерения углов, например, градусы, радианы, обороты, грады (гоны).
Эта таблица показывает переводы из одних мер в другие и значения тригонометрических функций от наиболее часто встречающихся углов:
Обороты Градусы Радианы Грады (гоны) Синус Косинус Тангенс 0 0° 0 0 0 1 0 30° 45° 50 1 60° 90° 100 1 0 120° − − 135° 150 − −1 150° − − 180° 200 0 −1 0 210° − − 225° 250 − − 1 240° − − 270° 300 −1 0 300° − − 315° 350 − −1 330° − − 1 360° 2 400 0 1 0
Дальнейшие углы
Значения тригонометрических функций в углах, не находящихся в промежутке от до , элементарно выводятся из значений в углах этого промежутка при помощи формул приведения. Все углы записаны в градусах и радианах, при этом число, обратное множителю, стоящему перед в выражении для данного угла, является единственным числом символа Шлефли правильного (возможно, звёздчатого) многоугольника с внешним углом, равным данному.
0° = 0 (rad)
1,5°=(1/120)π (rad)
1,875°=(1/96)π (rad)
2,25°=(1/80)π (rad)
2,8125°=(1/64)π (rad)
3°=(1/60)π (rad)
3,75°=(1/48)π (rad)
4,5°=(1/40)π (rad)
5,625°=(1/32)π (rad)
6°=(1/30)π (rad)
7,5°=(1/24)π (rad)
9°=(1/20)π (rad)
11,25°=(1/16)π (rad)
12°=(1/15)π (rad)
15°=(1/12)π (rad)
18°=(1/10)π (rad)
21°=(7/60)π (rad)
22,5°=(1/8)π (rad)
, серебряное сечение
24°=(2/15)π (rad)
27°=(3/20)π (rad)
30°=(1/6)π (rad)
33°=(11/60)π (rad)
36°=(1/5)π (rad)
где — золотое сечение;
39°=(13/60)π (rad)
42°=(7/30)π (rad)
45°=(1/4)π (rad)
54°=(3/10)π (rad)
60°=(1/3)π (rad)
67,5°=(3/8)π (rad)
72°=(2/5)π (rad)
где — золотое сечение;
75°=(5/12)π (rad)
90°=(1/2)π (rad)
Список значений тригонометрических функций от аргумента, равного 2π/n Приведены только формулы, не использующие корней степени больше . Так как (по теореме Муавра) в множестве комплексных чисел извлечение корня целой степени n приводит к n различным значениям, то для корней 3-й и 5-й степеней от невещественных чисел, появляющихся в этом разделе ниже, следует брать главное значение, равное корню с наибольшей действительной частью: она всегда положительна. Следовательно, суммы корней 3-й или 5-й степени от комплексно сопряжённых чисел, появляющиеся в таблице, тоже положительны. Тангенс приведён в тех случаях, когда его можно записать сильно проще, чем отношение записей синуса и косинуса.
В некоторых случаях ниже используются два числа , обладающие таким свойством, что .
Доказательство Одно из общих и наглядных методов вывести формулы для (n и o — целые числа) — это решить уравнение xn = 1, то есть найти комплексные корни из 1. При этом сами косинус и синус равны и соответственно. Данный метод обосновывается теоремой Муавра:
В свою очередь, эта теорема доказывается утверждением, что при умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы — складываются (последнее равносильно тригонометрическим тождествам для суммы):
Среди корней натуральной степени n из 1 есть те, которые не являются корнями никакой другой натуральной степени m < n из 1, — они называются первообразными, или примитивными, корнями n-й степени из 1. А многочлен, в качестве своих корней содержащий только примитивные радикалы из 1, причём с единичной кратностью, называется круговым. Для корней n-й степени из 1 степень кругового многочлена равна φ(n), где φ — функция Эйлера, и обязательно чётна при n ≥ 3, поскольку при n ≥ 3 все первообразные корни (среди которых уже нет ±1) невещественны и образуют комплексно сопряжённые пары.
При n ≥ 2 круговой полином является симметричным, то есть все его коэффициенты отражаются относительно степени φ(n)/2. Если n ≥ 3, то, чтобы решить уравнение с круговым многочленом sφ(n)(x) = 0 чётной степени φ(n), симметричный полином sφ(n)(x) надо разделить на xφ(n)/2, а затем сгруппировать по степеням числа x + 1/x (это возможно из-за симметричности), которое, как совпадение, и оказывается искомым косинусом, умноженным на 2.
Пример 1: n = 3
Способ 1 — решение уравнения 2-й степени по общему методу Полином раскладывается на круговые множители и у первого из каких корень равен 1, а второй является полиномом 2-й степени. И в общем случае, чтобы решить квадратное уравнение, надо поделить многочлен на старший коэффициент (здесь он равен 1), а затем выделить точный квадрат так, чтобы избавиться от слагаемого-одночлена той степени, которая меньше степени полинома на 1, — то есть привести многочленное уравнение к каноническому виду:
(канонический вид).
В итоге в совокупности с уравнением получается, что
Способ 2 — сведение уравнения к уравнению 1-й степени Вместо того, чтобы решать уравнение как квадратное, симметричный многочлен можно поделить на x, сгруппировать относительно x + 1/x, учитывая, что x + 1/x — это искомый косинус, умноженный на 2:
Пример 2: n = 5 Круговой полином равен и, чтобы найти его корни, его нужно поделить на x2, сгруппировать по степеням x + 1/x (сведя к квадратному полиному) и приравнять 0:
(искомый косинус, умноженный на 2),
Пример 3: n = 7 Условные обозначения. Обозначим как
Шаг 1 — приведение уравнения к канонической форме Проведя с круговым многочленом преобразования, аналогичные каким представлены для n = 5, получаем уравнение 3-й степени Далее, как и в случае с квадратным уравнением, это уравнение нужно привести к каноническому виду, то есть поделить обе части уравнения на старший коэффициент (единицу) и затем выделить точный куб, избавившись от слагаемого той степени, которая меньше степени многочлена на 1:
(каноническая форма).
Шаг 2 — метод дель Ферро Метод решения канонических кубических уравнений вошёл в историю под именем Джероламо Кардано, но впервые был открыт Сципионом дель Ферро. Он заключается в следующем: заменим искомую переменную () на сумму :
а затем зададим между v и w такую зависимость, чтобы уравнение можно было свести к менее чем 3-й степени. Тогда оказывается, что в числе множитель надо приравнять нулю. В таком случае и (сам косинус), а само кубическое уравнение сокращается до квадратного:
а с учётом главных значений кубических корней получается:
где
где o = 1 (o = 6) соответствует m = 0, o = 2 (o = 5) — m = 1, а o = 3 (o = 4) — m = 2.
Шаг 3 — синус Синус лучше всего искать не по основному тригонометрическому тождеству, а по формуле половинного угла иначе появятся квадраты чисел и упрощение станет неочевидное. В итоге все примитивные корни 7-й степени из 1 равны
где
Пример 4: n = 32 = 9 Условное обозначение. Обозначим как
Число 9 раскладывается на простые множители как 32, так что многочлен можно разложить на круговые множители как Корни последнего из них представляют собой корни 3-й степени из чисел (корней многочлена ), которые, в свою очередь, являются первообразными корнями 3-й степени из 1, то есть первообразные корни 9-й степени из 1 равны
Тогда (с учётом главных значений кубических корней) «первообразные» косинусы и синусы выражаются как
Пример 5: n = 2 · 7 = 14 Условное обозначение:
У полинома круговые множители таковы:
(круговой полином для 1-й степени); (круговой полином для 2-й степени); (для 7-й степени); (для 14-й степени).
Корни полинома точно противоположны корням полинома (это можно доказать с помощью замены переменной на противоположную ей или по теореме Виета) и, следовательно, выглядят так:
где
Пример 6: n = 3 · 5 = 15 Круговой многочлен не очень прост, и вместо того, чтобы искать его корни, лучше разложить угол (o — целое число) как сумму где o1 и o2 — некоторые целые числа.
Примечание. В отличие от 15, в факторизации числа 9 участвует один и тот же множитель двойной кратности — и в отличие от угол не всегда можно разложить в виде (o, o1 и o2 — целые числа).
Разложив угол на сумму углов, можно вычислять косинус и синус:
Например, если o = 1, то в качестве o1 и o2 можно выбрать −1 и 2 соответственно. Тогда
Пример 7: n = 17
Шаг 1 Поскольку данное число Ферма является простым, то, как и в случае n = 3, n = 5 и n = 7, в первую очередь нужно круговой полином поделить на x8 и заменить на некоторую переменную b = x + 1/x ― получим
Условное обозначение. Обозначим корни многочлена как
Шаг 2 Корни полинома лучше всего найти не через его коэффициенты, а пользуясь тем, что его корни ― удвоенные косинусы. Для этого нужно некоторым образом распределить все его корни по двум суммам S1 и S2, найти S1 + S2 и S1S2 и по теореме Виета вывести для S1 и S2 уравнение, решив которое и получим S1 и S2.
Если поточнее, корни полинома нужно распределять по степеням двойки:
Сумма S1 + S2 равна сумме всех корней а значит, по теореме Виета равна −1, а произведение находится по формуле косинуса произведения
(по формуле косинуса произведения)
Тогда получается квадратное уравнение с корнями причём они распределяются так:
Шаг 3 Слагаемые, заключённые в S1 и S2, снова надо распределить пополам по суммам, причём по степеням четвёрки — и образуются четыре числа:
Сумма (где m пробегает множество {1, 2}) равна а произведение (по той же формуле ) равно −1 (при m = 1 и при m = 2), а значит, здесь по теореме Виета мы получаем квадратное уравнение для T:
Шаг 4 Во 2-м и 3-м этапах мы каждый раз «дробили» суммы пополам. Здесь мы сделаем то же самое и таким образом уже дойдём до самих корней (чисел bo/17). Суммы равны:
а соответствующие произведения:
Составив все требуемые квадратные уравнения, получаем искомые косинусы:
или — или — — — где .
Пример 8: n = 13