Параметризация Фейнмана — это метод вычисления интегралов по четырёхмерному пространству, возникающих при расчётах радиационных поправок (высших порядков теории возмущений) к различным процессам по диаграммам Фейнмана.

Суть метода заключается в приведении множителей в знаменателе под одну степень. Затем, пользуясь независимостью порядка интегрирования, применяется уже известный результат вычисления интеграла по четырёхмерному пространству. Получающиеся независимые переменные, по которым далее проводится интегрирование (уже по одномерному пространству), называются параметрами Фейнмана.

Формулы Ричард Фейнман заметил, что:

причём формула действительна для любых комплексных чисел A и B, если 0 не содержится в отрезке прямой, соединяющем A и B. Формула помогает вычислить интегралы, такие как:

Если A (p) и B (p) — линейные функции от p, то последний интеграл можно вычислить с помощью подстановки.

В более общем смысле, используя дельта-функцию Дирака :

Эта формула действительна для любых комплексных чисел A1,. , ., An, если 0 не содержится в их выпуклой оболочке.

Даже в более общем плане, при условии, что для всех :

где  — гамма-функция.

Вывод

Теперь просто линейно преобразовать интеграл с помощью подстановки,

, что приводит к , откуда

и мы получаем искомый результат:

В более общих случаях вывод может быть выполнен очень эффективно с использованием параметризации Швингера. Например, чтобы вывести параметризованную форму Фейнмана Сначала мы повторно выражаем все факторы в знаменателе в их параметризованной форме Швингера:

и записываем

Затем мы выполняем следующее изменение переменных интегрирования,

чтобы получить,

где обозначает интеграцию по площади с ,

Следующим шагом является выполнение интегрирования по .

где мы определили

Подставляя этот результат, мы получаем предпоследнюю форму,

и после введения дополнительного интеграла мы приходим к окончательному виду параметризации Фейнмана, а именно:

Точно так же, чтобы вывести форму параметризации Фейнмана из наиболее общего случая, : можно начать с подходящей другой формы параметризации Швингера в знаменателе, а именно:

и затем действовать точно в соответствии с предыдущим случаем.

Альтернативная форма Альтернативная форма параметризации, которая иногда полезна,

Эта форма может быть получена с помощью замены переменных , Мы можем использовать правило произведения, чтобы показать, что , затем

В более общем случае мы имеем

где  — гамма-функция .

Эта форма может быть полезна при объединении линейного знаменателя с квадратичным знаменателем , например, в эффективной теории тяжелых кварков (HQET).

Симметричная форма Иногда используется симметричная форма параметризации, где вместо этого выполняется интеграл на интервале , что приводит к:

Примечания

Категория:Ричард Фейнман Категория:Квантовая теория поля Категория:Википедия:Страницы с непроверенными переводами