Шахматная доска Фейнмана (релятивистская шахматная доска) — предложенная Ричардом Фейнманом модель, иллюстрирующая формулировку «суммы по путям» для интеграла по траекториям свободной частицы со спином 1/2, движущейся в одном пространственном измерении. Она обеспечивает представление решений уравнения Дирака в (1 + 1)-мерном пространстве-времени в виде дискретных сумм.
Модель можно визуализировать, рассматривая релятивистские случайные блуждания на двумерной шахматной доске пространства-времени. На каждом дискретном временном шаге частица массы проходит расстояние влево или вправо ( — скорость света). Для такого дискретного движения интеграл по Фейнману сводится к сумме по возможным путям. Фейнман продемонстрировал, что если каждый «поворот» (изменение движения слева направо или наоборот) пути в пространстве-времени взвешивается с коэффициентом ( — приведённая постоянная Планка), в пределе бесконечно малых квадратов шахматной доски сумма всех взвешенных путей даёт пропагатор, который удовлетворяет одномерному уравнению Дирака. В результате спиральность (одномерный эквивалент спина) получается из простого правила типа клеточных автоматов.
Модель шахматной доски важна, потому что она связывает спин и хиральность с распространением в пространстве-времени и является единственной формулировкой суммы по пути, в которой квантовая фаза дискретна на уровне путей, принимая только значения, соответствующие корню 4-й степени из единицы.
История Фейнман изобрёл модель в 1940-х годах при разработке своего пространственно-временного подхода к квантовой механике. Он не опубликовал результат, пока он не появился в тексте об интегралах по путям, соавтором которого был Альберт Хиббс в середине 1960-х годов.Feynman and Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, New York: McGraw-Hill, Problem 2-6, p. 34—36, 1965. Модель не была включена в оригинальную статью с интегралом по траектории, потому что подходящее обобщение для четырехмерного пространства-времени не было найдено.R. P. Feynman, The Development of the Space-Time View of Quantum Electrodynamics (), Science, 153, p. 699—708, 1966 (Reprint of the Nobel Prize lecture).
Одна из первых связей между амплитудами, предписанными Фейнманом для частицы Дирака в 1 + 1 измерениях, и стандартной интерпретацией амплитуд в терминах ядра или пропагатора, была установлена Джаянтом Нарликаром в детальном анализе.J. Narlikar, Path Amplitudes for Dirac particles, Journal of the Indian Mathematical Society, 36, p. 9—32, 1972. Название «модель шахматной доски Фейнмана» было придумано Гершем, когда он продемонстрировал её связь с одномерной моделью Изинга. Гаво и соавторы обнаружили связь между моделью и стохастической моделью телеграфных уравнений благодаря Марку Кацу посредством аналитического продолжения. Якобсон и Шульман рассмотрели переход от релятивистского к нерелятивистскому интегралу пути. Впоследствии Орд показал, что модель шахматной доски была встроена в корреляции в первоначальной стохастической модели Каца и поэтому имела чисто классический контекст, свободный от формального аналитического продолжения. В том же году Кауфман и Нойес выпустили полностью дискретную версию, касающуюся физики битовых струн, которая превратилась в общий подход к дискретной физике.Louis H. Kauffman, Non-Commutative Worlds — A Summary, 2005, arXiv: quant-ph/0503198.
Расширения Хотя Фейнман не дожил до публикации расширений модели шахматной доски, из его архивных заметок видно, что он был заинтересован в установлении связи между корнями 4-й степени из единицы (используемых в качестве статистических весов на путях шахматной доски) и своим совместным с Дж. А. Уилером открытием, что античастицы эквивалентны частицам, движущимся назад во времени. Его заметки содержат несколько набросков дорожек шахматной доски с добавленными пространственно-временными петлями. Первым расширением модели, которая явно содержала такие петли, была «спиральная модель», в которой на шахматной доске допускались спиральные траектории в пространстве-времени. В отличие от случая с шахматной доской, причинно-следственная связь должна быть реализована явно, чтобы избежать расхождений, однако с этим ограничением уравнение Дирака возникло как предел континуума. Далее роли «дрожащего движения», античастиц и моря Дирака в модели шахматной доски были выяснены и через нерелятивистский предел рассмотрены следствия для уравнения Шрёдингера.
Дальнейшие расширения исходной 2-мерной модели пространства-времени включают такие особенности, как улучшенные правила суммирования и обобщенные решётки. Не было единого мнения об оптимальном расширении модели шахматной доски до полностью четырёхмерного пространства-времени. Существуют два различных класса расширений: те, которые работают с фиксированной базовой решёткойFrank D. Smith, HyperDiamond Feynman Checkerboard in 4-dimensional Spacetime, 1995, arXiv: quant-ph/9503015, и те, которые встраивают двумерный случай в пространство более высокой размерности. Преимущество первого состоит в том, что сумма по путям ближе к нерелятивистскому случаю, однако простая картина единственной, не зависящей от направления скорости света теряется. В последних расширениях свойство фиксированной скорости поддерживается за счёт переменных направлений на каждом шаге.
Примечания
Категория:Ричард Фейнман Категория:Модели на решётках Категория:Спиноры Категория:Квантовая теория поля