Выразимость в радикалах означает возможность выразить число или функцию через простейшие числа или функции при помощи извлечения корня целой степени и арифметических операций — сложения, вычитания, умножения, деления.
Для чисел Первичные определения Стандартное определение Элемент поля называется выразимым в радикалах над подполем поля , если существует алгебраическое выражение, в которое в качестве чисел входят только элементы поля , значение которого равно . В случае, если в поле корень является многозначной функцией, считается достаточным равенство числа хотя бы одному из возможных значений алгебраического выражения.
Иначе говоря, множество выразимых в радикалах чисел состоит из множества значений всех рациональных выражений, частных сумм радикалов от значений рациональных выражений и частных сумм вложенных радикалов от значений рациональных выражений.
Определение без использования отсылок к формальному языку математики Пусть является подполем поля . Рассмотрим такую конечную цепочку вложенных полей , что и для любого от до , где — такое число из поля , что для некоторого натурального число принадлежит . Число называется выразимым в радикалах над подполем поля , если при некотором для него найдутся такие наборы и , что .
Прочие определения Действительное число называется выразимым в действительных радикалах, если оно выразимо в радикалах над подполем рациональных чисел поля действительных чисел . Корни чётной степени в принимающем значение алгебраическом выражении при этом позволяется брать только из неотрицательных чисел, то есть значение любого подвыражения рассматриваемого выражения должно иметь нулевую мнимую часть. Комплексное число (которое может являться и действительным) называется выразимым в комплексных радикалах, если оно выразимо в радикалах над подполем рациональных чисел поля комплексных чисел . Выразимое в действительных радикалах число всегда является выразимым в комплексных радикалах. Первичное возникновение комплексных чисел в алгебраическом выражении, принимающем значение , может происходить только благодаря извлечению корня чётной степени из отрицательных чисел. Для упрощения работы с неоднозначностью корней -ой степени в комплексных числах применяются различные методы указания на то, какой из корней является необходимым для получения данного числа: например, комплексные корни из единицы, являющиеся важными константами, пронумерованы явно в порядке против часовой стрелки на стандартной комплексной плоскости, начиная с самой единицы. Элемент поля называется выразимым в радикалах степени над подполем поля , если некоторое алгебраическое выражение с числами из , значение которого равно , из возможных корней содержит только корни степени . В частности, при число называется выразимым в квадратных радикалах, а при выразимым в кубических радикалах. Возможны также комбинации: например, числа и являются выразимыми в квадратных и кубических радикалах над полем рациональных чисел . Определение, не выходящее за рамки стандартного формального языка, имеет следующий вид: элемент поля называется выразимым в радикалах степени над подполем поля , если он выразим в радикалах над полем и все , участвующие в определении выразимости в радикалах для , данном выше, равны . Число, выразимое в действительных квадратных радикалах, называется вещественно построимым. Пусть — поле. Тогда поле , где и , называется радикальным расширением поля . Таким образом, в построенной выше цепочке полей каждое следующее является некоторым радикальным расширением предыдущего. В случае указанное поле называется квадратичным расширением поля , то есть число, выразимое в квадратных радикалах, принадлежит очередному полю в цепочке квадратичных расширений изначального подполяКуликов Л.Я. "Алгебра и теория чисел. Учебное пособие для педагогических институтов". Число, выразимое в радикалах, называется выразимым за радикалов, если среди всех равных ему алгебраических выражений минимальное количество корней в них равно .
Примеры Число выразимо в действительных квадратных радикалах, то есть вещественно построимо. Одновременно оно выразимо в действительных радикалах любой степени вида , где — натуральное, так как . Число также на первый взгляд кажется выразимым только в радикалах любой степени вида , однако на самом деле оно выразимо в радикалах любой степени и любого вида, так как для любого . Не всегда сразу можно определить и такое минимальное , что рассматриваемое число выразимо за радикалов, так как с виду выразимое за два квадратных радикала число на самом деле равно и является выразимым за один квадратный радикал. Больше подобных примеров приведено в статье вложенные радикалы. Число выразимо в радикалах над подполем поля , так как единственный корень чётной степени в данном алгебраическом выражении извлекается из неотрицательного числа , но не выразимо в действительных радикалах, так как . В отличие от предыдущих пунктов, в данном случае мы можем говорить о негативном свойстве рассматриваемого числа на основании конкретной его записи, так как, предположив, что оно выразимо в действительных радикалах, мы легко получили бы алгебраическое выражение для , которого не существует в силу трансцендентности этого числа (см. раздел общие свойства).
Пояснения Под выразимостью в радикалах в отношении действительного числа без прочих уточнений в литературе обычно подразумевается выразимость в комплексных радикалах.
Для функций, многочленов и уравнений Первичные определения Стандартное определение Функция , принимающая значения в поле и зависящая от некоторого количества параметров, называется выразимой в радикалах над подполем поля , если существует алгебраическое выражение, в которое в качестве чисел входят только элементы поля и указанные параметры, значение которого совпадает со значением при любых допустимых значениях этих параметров.
Определение без использования отсылок к формальному языку математики Пусть является подполем поля . Рассмотрим такую конечную цепочку вложенных полей , элементами которых являются функции из (возможно, без нескольких точек во избежание деления на ноль) в , что состоит из всех рациональных функций над , а для любого от до , где — такая непрерывная функция на , что для некоторого натурального функция принадлежит . Функция называется выразимой в радикалах над подполем поля , если при некотором для неё найдутся такие наборы и , что .
Прочие определения Многозначная функция называется выразимой в радикалах над подполем , если все выделяемые из неё однозначные функции также выразимы в радикалах над подполем . Многочлен от одной переменной, зависящий от некоторого количества параметров (определяющих некоторые его коэффициенты), называется разрешимым в радикалах, если выразима в радикалах непрерывная и, возможно, многозначная функция, сопоставляющая набору значений параметров соответствующий ему набор корней многочлена. Алгебраическое уравнение называется разрешимым в радикалах, если разрешим в радикалах многочлен, приравнивающийся к нулю в этом уравнении. К функциям и многочленам применимы все ограничения определения выразимости и разрешимости в радикалах соответственно, указанные выше. Например, функция , определённая как на всей действительной прямой, выразима в квадратных комплексных радикалах.
Примеры Многозначная функция , выразима в радикалах, так как все шесть выделяемых из неё однозначных функций удовлетворяют условию , где — алгебраическое выражение, использующее только переменную, выступающую в качестве аргумента функции, и комплексные числа. Многочлен разрешим в комплексных квадратных радикалах, так как при любом его корни задаются функцией . Однако разрешимым в действительных радикалах этот многочлен может являться только при том ограничении, что число принадлежит множеству неположительных чисел.
Пояснения В случае с комплексной функцией без уточнения подполя оно обычно подразумевается равным тому же множеству комплексных чисел . Важно отметить тот факт, что выразимость в радикалах функции и выразимость в радикалах образа каждого элемента при её применении не равносильны: к примеру, удовлетворяющая второму условию функция на может не быть непрерывной, в то время как для удовлетворяющей первому условию это требование обязательно.
Общие свойства Множества выразимых в радикалах чисел и выразимых в радикалах функций являются полями, содержащими поля, над которыми они выразимы в радикалах, в качестве подполей. Любое выразимое в радикалах комплексное число является алгебраическим, однако не любое алгебраическое число выразимо в радикалах. Первое утверждение следует из алгебраичности рациональных чисел и из того, что множество алгебраических чисел является полем (на каждом шаге перехода от к в определении выразимого в радикалах числа алгебраические числа порождают только алгебраические). Второе утверждение следует из нижеследующей теоремы о существовании уравнения степени с целыми коэффициентами, хотя бы один из корней которого невыразим в радикалах. Точно также, любая выразимая в радикалах функция является алгебраической, в то время как не всякая алгебраическая функция выразима в радикалах. Иными словами, поле алгебраических чисел содержит поле чисел, выразимых в радикалах, а поле алгебраических функций содержит поле функций, выразимых в радикалах, однако обратные утверждения неверны. Любая выразимая в радикалах функция переводит множества чисел, выразимых в радикалах, алгебраических чисел и трансцендентных чисел над тем же полем внутрь них самих. В случае, если аргумент многозначной выразимой в радикалах функции целиком состоит из чисел одного из этих множеств, образ также попадает в него. Однако только последние два множества всегда целиком являются образами себя. Получить выразимое в радикалах число, получаемое при применении выразимой в радикалах функции только к невыразимым в радикалах числам, можно следующим образом: возьмём многочлен степени с целыми коэффициентами, ни один из корней которого не выразим в радикалах и свободный член которого не равен нулю (по теореме Кронекера, описанной ниже, в качестве такого многочлена может подойти, к примеру, ). Тогда функция, заданная таким многочленом без свободного члена, принимает равное ему значение только в корнях этого многочлена, невыразимых в радикалах, в то время как сам свободный член является целым числом и, очевидно, выражается в любых радикалах.
Геометрические и тригонометрические теоремы Основная теорема теории геометрических построений: при наличии на плоскости отрезка длины отрезок длины построим циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда число является вещественно построимым (то есть выразимо в квадратных действительных радикалах)М.Баландин "Введение в построения циркулем и линейкой". Отсюда следует невозможность квадратуры круга и удвоения куба циркулем и линейкой, поскольку в итоге будут получены непостроимые вещественно числа и соответственно. В более общем виде рассмотренная выше теорема звучит так: при данных отрезках длин отрезок длины можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда . Теорема Гаусса: Число вещественно построимо тогда и только тогда, когда , где все — попарно различные простые числа Ферма. Из данной теоремы, в частности, следует, что число не является вещественно построимым, то есть провести циркулем и линейкой трисекцию угла , а значит, и произвольного угла, невозможно. Аналогичным образом доказывается невозможность разбиения произвольного угла на любое количество равных частей, не являющееся степенью двойки — если бы такое разбиение было возможно, то можно было бы построить углы вида , что возможно только при . Список алгебраических выражений для тригонометрических функций некоторых углов приведён в статье Тригонометрические константы. Побочный результат рассмотренной теоремы состоит в том, что значения тригонометрических функций в угле, составляющем целое число градусов, выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда это число делится на .